Câu hỏi:

06/10/2025 99 Lưu

Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{\sqrt {x - 1} - 1}}{{{x^2} - 3x + 2}}}&{{\rm{ khi }}x \ne 2}\\{\frac{{2a + 1}}{6}}&{{\rm{ khi }}x = 2}\end{array}} \right.\)\(g(x) = \sin \frac{{\pi x}}{4}\). Khi đó:

a) Giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = \frac{1}{2}\)

b) Hàm số \(g(x)\) liên tục tại điểm \({x_0} = 2\).

c) Khi \(a = 1\) thì hàm số \(f(x)\) liên tục tại \({x_0} = 2\)

d) Khi \(a = 0\) thì hàm số \(y = f\left( x \right) + g\left( x \right)\) liên tục tại \({x_0} = 2\)

Quảng cáo

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

a) Đúng

b) Đúng

c) Đúng

d) Sai

 

Ta có: \(f(2) = \frac{{2a + 1}}{6}\)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt {x - 1} - 1}}{{{x^2} - 3x + 2}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{x - 1 - 1}}{{(x - 2)(x - 1)(\sqrt {x - 1} + 1)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{1}{{(x - 1)(\sqrt {x - 1} + 1)}} = \frac{1}{2}.\)

Hàm số \(f(x)\) liên tục tại \(x = 2 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = f(2) \Leftrightarrow \frac{{2a + 1}}{6} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow a = 1\).

Ta có: \(g(2) = \sin \frac{{2\pi }}{4} = 1\)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} g(x) = \sin \frac{{2\pi }}{4} = 1\) nên \(g(2) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} g(x)\).

Vậy hàm số \(g(x)\) liên tục tại điểm \({x_0} = 2\).

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

A. \(a = 0\).                
B. \(a = - \frac{1}{2}\).            
C. \(a = \frac{1}{2}\).            
D. \(a = 1\).

Lời giải

Chọn C

Ta có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)\]\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt x  - 1}}{{x - 1}}\]\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\]\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{{\sqrt x  + 1}}\]\[ = \frac{1}{2}\].

Để hàm số liên tục tại \[{x_0} = 1\] khi \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)\]\( \Leftrightarrow a = \frac{1}{2}\).

Lời giải

a) Đúng

b) Đúng

c) Đúng

d) Sai

 

Ta có: \(f\left( {{x_0}} \right) = f(1) = 1 + 1 = 2\).

\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (x + 1) = 2 = f\left( {{x_0}} \right){\rm{. }}\)

Vậy hàm số liên tục tại điểm \({x_0} = 1\).

Ta có: \(g\left( {{x_0}} \right) = g(1) = 4\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {4{x^2} - x + 1} \right) = 4 = g(1)\)

Vậy hàm số liên tục tại điểm \({x_0} = 1\).

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP