Tìm giá trị của \[a;b;c\]để \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {ax + b} + cx}}{{{x^3} - 2{x^2} + x}} = - \frac{1}{2}\].

Ta có

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {ax + b} + cx}}{{{x^3} - 2{x^2} + x}} = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{ - (c{x^2} - ax - b)}}{{x{{\left( {x - 1} \right)}^2}\left( {\sqrt {ax + b} - cx} \right)}} = - \frac{1}{2}\,\,\,\,(*)\]

Để xảy ra (*) thì điều kiện cần là

\[\left\{ \begin{array}{l} - ({c^2}{x^2} - ax - b) = k{(x - 1)^2}\,\,\,(k \ne 0)\\\sqrt {a.1 + b} - c \ne 0\\\frac{k}{{\sqrt {a.1 + b} - c}} = - \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k < 0\\\,a = - 2k,\,\,b = k\,\\\sqrt {a + b} - c \ne 0\,\\\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}c = \sqrt { - k} \\\frac{k}{{\sqrt { - 2k + k} - \sqrt { - k} }} = - \frac{1}{2}\,\,\,(PTVN)\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}c = - \sqrt { - k} \\\frac{k}{{\sqrt { - 2k + k} + \sqrt { - k} }} = - \frac{1}{2} \Rightarrow k = - 1\end{array} \right.\end{array} \right.\,\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 2k = 2\\b = k = - 1\\c = \sqrt { - k} = 1\end{array} \right.\]

Thử lại: với \(a = 2,b = - 1,\,c = 1\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.