Giả sử kết quả khảo sát hai khu vực \(A\) và \(B\) về độ tuổi kết hôn của một số phụ nữ vừa lập gia đình được cho ở bảng sau:

a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm ứng với khu vực A là: \(15\) (tuổi).

b) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm ứng với khu vực B là: \(12\)(tuổi).

c) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm ứng với khu vực A là: \(\frac{{61}}{3}\) (tuổi).

d) Nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị thì phụ nữ ở khu vực B có độ tuổi kết hôn đồng đều hơn.

a) Đúng. Xét số liệu ở Hà Nội:

Khoảng biến thiên: \(R = 31,8 - 16,8 = 15\).

Số phần tử của mẫu là \(n = 12\).

Tần số tích lũy của các nhóm lần lượt là \(c{f_1} = 2,c{f_2} = 5,c{f_3} = 7,c{f_4} = 8,c{f_5} = 12\).

Ta có: \(\frac{n}{4} = \frac{{12}}{4} = 3\) mà \(2 < 3 < 5\) suy ra nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 3.

Xét nhóm 2 là nhóm \(\left[ {19,8;22,8} \right)\) có \(s = 19,8,h = 3,{n_2} = 3\) và nhóm 1 là nhóm \(\left[ {16,8;19,8} \right)\) có \(c{f_1} = 2\). Ta có tứ phân vị thứ nhất là: \({Q_1} = s + \left( {\frac{{3 - c{f_1}}}{{{n_2}}}} \right).h = 19,8 + \left( {\frac{{3 - 2}}{3}} \right).3 = 20,8\).

Ta có: \(\frac{{3n}}{4} = \frac{{3.12}}{4} = 9\) mà \(8 < 9 < 12\) suy ra nhóm 5 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 9.

Xét nhóm 5 là nhóm \(\left[ {28,8;31,8} \right)\) có \(t = 28,8,1 = 3,{n_5} = 4\) và nhóm 4 là nhóm \(\left[ {25,8;28,8} \right)\) có \(c{f_4} = 8\).

Ta có tứ phân vị thứ ba là: \({Q_3} = t + \left( {\frac{{9 - c{f_4}}}{{{n_5}}}} \right).l = 28,8 + \left( {\frac{{9 - 8}}{4}} \right).3 = 29,55\).

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: \({Q_3} - {Q_1} = 29,55 - 20,8 = 8,75\) .

b) Sai. Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\(\overline {{x_1}}  = \frac{{2.18,3 + 3.21,3 + 2.24,3 + 27,3 + 4.30,3}}{{12}} = 24,8\).

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\(\begin{array}{l}{s_1}^2 = \frac{1}{{12}}\left[ {2{{\left( {18,3 - 24,8} \right)}^2} + 3{{\left( {21,3 - 24,8} \right)}^2} + 2{{\left( {24,3 - 24,8} \right)}^2}} \right.\\\left. {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + {{\left( {27,3 - 24,8} \right)}^2} + 4{{\left( {30,3 - 24,8} \right)}^2}} \right] = 20,75.\end{array}\)

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({s_1} = \sqrt {{s_1}^2}  = \sqrt {20,75}  \approx 4,56\).

c) Sai. Xét số liệu ở Huế:

Khoảng biến thiên: \(R = 31,8 - 16,8 = 15\).

Số phần tử của mẫu là \(n = 12\).

Tần số tích lũy của các nhóm lần lượt là \(c{f_1} = 1,c{f_2} = 3,c{f_3} = 6,c{f_4} = 8,c{f_5} = 12\).

Ta có: \(\frac{n}{4} = \frac{{12}}{4} = 3\) suy ra nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 3. Xét nhóm 2 là nhóm \([19,8;22,8)\) có \(s = 19,8,\;h = 3,{n_2} = 2\) và nhóm 1 là nhóm \([16,8;19,8)\) có \(c{f_1} = 1\)

Ta có tứ phân vị thứ nhất là: \({Q_1} = s + \left( {\frac{{3 - c{f_1}}}{{{n_2}}}} \right).h = 19,8 + \left( {\frac{{3 - 1}}{2}} \right).3 = 22,8\).

Ta có: \(\frac{{3n}}{4} = \frac{{3.12}}{4} = 9\) mà \(8 < 9 < 12\) suy ra nhóm 5 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 9.

Xét nhóm 5 là nhóm \(\left[ {28,8;31,8} \right)\) có \(t = 28,8,l = 3,{n_5} = 4\) và nhóm 4 là nhóm \([25,8;28,8)\) có \(c{f_4} = 8\).

Ta có tứ phân vị thứ ba là: \({Q_3} = t + \left( {\frac{{9 - c{f_4}}}{{{n_5}}}} \right).l = 28,8 + \left( {\frac{{9 - 8}}{4}} \right).3 = 29,55\).

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: \({Q_3} - {Q_1} = 29,55 - 22,8 = 6,75\).

Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\(\overline {{x_2}}  = \frac{{18,3 + 2.21,3 + 3.24,3 + 2.27,3 + 4.30,3}}{{12}} = 25,8\).

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\[\begin{array}{l}s_2^2 = \frac{1}{{12}}\left[ {{{\left( {18,3 - 25,8} \right)}^2} + 3{{\left( {21,3 - 25,8} \right)}^2} + 3{{\left( {24,3 - 25,8} \right)}^2}} \right.\\\left. {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + 2{{\left( {27,3 - 25,8} \right)}^2} + 4{{\left( {30,3 - 25,8} \right)}^2}} \right] = 15,75.\end{array}\]

d) Đúng. Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({s_2} = \sqrt {s_2^2}  = \sqrt {15,75}  \approx 3,97\).

Huế có nhiệt độ không khí trung bình tháng đồng đều hơn vì độ lệch chuẩn nhỏ hơn.

a) Đúng. Khoảng biến thiên của chiều cao các cây được chăm sóc theo mỗi phương pháp \(A\) và \(B\) bằng nhau và cùng bằng 50.

b) Đúng. Ước tính số trung bình và độ lệch chuẩn của chiều cao các cây được chăm sóc theo mỗi phương pháp. Cỡ mẫu của hai mẫu số liệu thống kê là \(N = 40\). Ta có bảng tần số ghép nhóm về chiều cao của cây được chăm sóc theo phương pháp \(A\) như sau:

Chiều cao trung bình của các cây được chăm sóc theo phương án \(A\) là:

\(\overline {{x_A}}  = \frac{{5.6 + 18.5 + 25.12 + 35.8 + 45.6}}{{40}} = 25\)

Ta có bảng tần số ghép nhóm về chiều cao của cây được chăm sóc theo phương pháp \(B\) như sau:

Chiều cao trung bình của các cây được chăm sóc theo phương án \(B\) là:

\(\overline {{x_B}}  = \frac{{5.13 + 15.6 + 25.2 + 35.6 + 45.13}}{{40}} = 25\)cm.

c) Đúng. Độ lệch chuẩn của chiều cao các cây được chăm sóc theo phương án \(A\) là:

\({s_A} = \sqrt {\frac{{{5^2}.6 + {{15}^2}.8 + {{25}^2}.12 + {{35}^2}.8 + {{45}^2}.6}}{{40}} - {{25}^2}}  \approx 12,65\).

d) Sai. Độ lệch chuẩn của chiều cao các cây được chăm sóc theo phương án \(B\) là:

\({s_B} = \sqrt {\frac{{{5^2}.13 + {{15}^2}.6 + {{25}^2}.2 + {{35}^2}.6 + {{45}^2}.13}}{{40}} - {{25}^2}}  \approx 17,03\).

Ta thấy \({s_B} > {s_A}\) nên dựa vào độ lệch chuẩn thì chiều cao của các loại cây được chăm sóc theo phương án \(B\) bị chênh lệch nhiều hơn so với phương án \(A\).