Câu hỏi:

07/10/2025 9 Lưu

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 2}}{1}\) và mặt phẳng \(\left( P \right): - x + 2y + z - 3 = 0\).

a) Điểm \(A\left( {1;\, - 1;\, - 2} \right)\) nằm trên đường thẳng \(d\).

b) Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) song song với đường thẳng \(d\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\left( {1;\,1;\, - 1} \right)\).

c) Góc giữa đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) bằng \(30^\circ \).

d) Đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M\left( { - 3;\,1;\,2} \right)\), song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\) và cắt đường thẳng \(d\) tại điểm \(N\left( {a;\,b;\,c} \right)\). Giá trị \(a + b + c\) bằng 3.

Quảng cáo

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

a) Sai. Điểm \(A\left( {1;\, - 1;\, - 2} \right)\) không nằm đường thẳng \(d\) vì \(\frac{{1 - 1}}{2} = \frac{{ - 1 + 1}}{{ - 1}} \ne \frac{{ - 2 - 2}}{1}\).

b) Đúng. Đường thẳng \(d\) có 1 vectơ chỉ phương là \({\overrightarrow u _d} = \left( {2;\, - 1;\,1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) có 1 vectơ pháp tuyến là \({\overrightarrow n _{\left( P \right)}} = \left( { - 1;\,2;\,1} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) có 1 vectơ pháp tuyến là \({\overrightarrow n _{\left( Q \right)}} = \left[ {{{\overrightarrow n }_{\left( P \right)}},\,{{\overrightarrow u }_d}} \right] = \left( {1;\,1;\, - 1} \right)\).

c) Đúng. Ta có \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {{{\overrightarrow u }_d} \cdot {{\overrightarrow n }_{\left( P \right)}}} \right|}}{{\left| {{{\overrightarrow u }_d}} \right| \cdot \left| {{{\overrightarrow n }_{\left( P \right)}}} \right|}} = \frac{3}{{\sqrt 6  \cdot \sqrt 6 }} = \frac{1}{2}\).

Suy ra \(\left( {d,\left( P \right)} \right) = 30^\circ \).

d) Sai. \(N = \Delta  \cap d\).

\(N \in d \Rightarrow N\left( {1 + 2t;\, - 1 - t;\,2 + t} \right)\).

\(\Delta \) có 1 vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {MN}  = \left( {2t + 4;\, - t - 2;\,t} \right)\).

Ta có \(\Delta \) song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\)

Suy ra \(\overrightarrow {MN}  \bot {\overrightarrow n _{\left( P \right)}}\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {MN}  \cdot {\overrightarrow n _{\left( P \right)}} = 0\)\( \Rightarrow \left( {2t + 4} \right) \cdot \left( { - 1} \right) + \left( { - t - 2} \right) \cdot 2 + t \cdot 1 = 0\)

Suy ra \(t =  - \frac{8}{3}\).

Vậy \(N\left( { - \frac{{13}}{3};\frac{5}{3};\, - \frac{2}{3}} \right)\).

Suy ra \(a + b + c =  - \frac{{13}}{3} + \frac{5}{3} - \frac{2}{3} =  - \frac{{10}}{3}\).

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

a) Sai. Phương trình mặt cầu \[\left( S \right)\] tâm \[I\left( {1;\,3;\,7} \right)\] bán kính 3 km mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng trong không gian là \[{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 7} \right)^2} = 9\].

b) Đúng. Ta có: \[IA = \sqrt {{{\left( {2 - 1} \right)}^2} + {{\left( {2 - 3} \right)}^2} + {{\left( {7 - 7} \right)}^2}}  = \sqrt 2  < 3\] nên điểm \[A\] nằm trong mặt cầu. Vì điểm \[A\] nằm trong mặt cầu nên người dùng điện thoại ở vị trí có toạ độ \[A\left( {2;\,2;\,7} \right)\] có thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó.

c) Đúng. Ta có: \[IB = \sqrt {{{\left( {5 - 1} \right)}^2} + {{\left( {6 - 3} \right)}^2} + {{\left( {7 - 7} \right)}^2}}  = 5 > 3\] nên điểm \[B\] nằm ngoài mặt cầu. Vậy người dùng điện thoại ở vị trí có toạ độ \[B\left( {5;\,6;\,7} \right)\] không thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó.

d) Đúng. Ta có: \[\overrightarrow {IB} \left( {4;\,3;\,0} \right);\] \[IB = \sqrt {{{\left( {5 - 1} \right)}^2} + {{\left( {6 - 3} \right)}^2} + {{\left( {7 - 7} \right)}^2}}  = 5 > 3\] nên điểm \[B\] nằm ngoài mặt cầu. Phương trình đường thẳng \[BI\] dạng: \[\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 4t\\y = 3 + 3t\\z = 7\end{array} \right.\].

Gọi mặt cầu \[\left( S \right) \cap BI \equiv E\] suy ra tọa độ \[E\] là nghiệm của hệ

\[\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 4t\\y = 3 + 3t\\z = 7\\{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 7} \right)^2} = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}t = \frac{3}{5}\\x = \frac{{17}}{5}\\y = \frac{{24}}{5}\\z = 7\end{array} \right. \Rightarrow E\left( {\frac{{17}}{5};\,\frac{{24}}{5};7} \right) \Rightarrow EB \approx 1,7\\\left\{ \begin{array}{l}t =  - \frac{3}{5}\\x =  - \frac{7}{5}\\y = \frac{6}{5}\\z = 7\end{array} \right. \Rightarrow E\left( { - \frac{7}{5};\,\frac{6}{5};7} \right) \Rightarrow EB = 8\end{array} \right.\]

Vậy khoảng cách lớn nhất để một người ở vị trí có toạ độ \[B\left( {5;\,6;\,7} \right)\] di chuyển được tới vùng phủ sóng theo đơn vị kilômét là \[8\,\]km.

Lời giải

Phương trình mặt cầu \(\left( S \right):\,{x^2} + {y^2} + {z^2} = 36\).

Ta có \(MA + MB = \sqrt {{{\left( {x - 26} \right)}^2} + {y^2} + {z^2}}  + \sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 26} \right)}^2} + {z^2}} \).

Áp dụng bất đẳng thức Minkowski ta có:

\(MA + MB = \sqrt {{{\left( {x - 26} \right)}^2} + {y^2} + {z^2}}  + \sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 26} \right)}^2} + {z^2}} \)\( \ge \sqrt {{{\left( {x + y - 52} \right)}^2} + {{\left( {x + y} \right)}^2} + 4{z^2}} \)

\( \ge \sqrt {{{\left( {x + y - 52} \right)}^2} + {{\left( {x + y} \right)}^2}} \).

Điều kiện để \(MA + MB = \sqrt {{{\left( {x + y - 52} \right)}^2} + {{\left( {x + y} \right)}^2}} \) là khi \(z = 0\), khi đó \(\,{x^2} + {y^2} = 36\)

Mặt khác, vì \(M\left( {x;y;z} \right)\) thuộc mặt cầu tâm \(O\), bán kính bằng 6 nên \( - 6 \le x;y;z \le 6\) dó đó \(x + y >  - 12\).

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có \(x + y \le \sqrt {\left( {{1^2} + {1^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}  = \sqrt {2.36}  = 6\sqrt 2 \).

Đặt \(t = x + y \Rightarrow  - 12 < t \le 6\sqrt 2 \), khi đó \(f\left( t \right) = MA + MB = \sqrt {{{\left( {t - 52} \right)}^2} + {t^2}}  = \sqrt {2{t^2} - 104t + {{52}^2}} \).

\(f'\left( t \right) = \frac{{2t - 52}}{{\sqrt {2{t^2} - 104t + {{52}^2}} }}\).

Dễ thấy hàm số \[f'\left( t \right) \le 0\,\]khi \( - 12 < t \le 6\sqrt 2 \). Do đó \(f\left( t \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất trên \( - 12 < t \le 6\sqrt 2 \) khi \(t = 6\sqrt 2 \) và bằng \(f\left( {6\sqrt 2 } \right) = \sqrt {2{t^2} - 104t + {{52}^2}}  = \sqrt {2776 - 624\sqrt 2 }  \approx 44\).

Đáp án: 44.