Câu hỏi:

07/10/2025 223 Lưu

Dạng 3. Trắc nghiệm trả lời ngắn

Một sân vận động được xây dựng theo mô hình là hình chóp cụt OAGD.BCFE có hai đáy song song với nhau. Mặt sân OAGD là hình chữ nhật và được gắn hệ trục Oxyz như hình vẽ (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét). Mặt sân \[OAGD\] có chiều dài \[OA = 100\]m, chiều rộng \[OD = 60\]m và tọa độ điểm \[B\left( {10;10;8} \right)\]. Giả sử phương trình tổng quát của mặt phẳng \[\left( {OACB} \right)\] có dạng \[ax + y + cz + d = 0\]. Tính giá trị biểu thức \[a + c + d\].Một sân vận động được xây dựng theo mô hình là hình chóp cụt OAGD.BCFE có hai đáy song song với nhau. Mặt sân OAGD là hình chữ nhật và được gắn hệ trục Oxyz như hình vẽ (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét) (ảnh 1)

Quảng cáo

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

Gắn hình chóp cụt vào hệ trục \[Oxyz\] ta có:

\[O\left( {0;0;0} \right),\,\,\,A\left( {100;0;0} \right),\,\,\,G\left( {100;60;0} \right),\,\,\,D\left( {0;60;0} \right),\,\,\,B\left( {10;10;8} \right)\].

Do \[\overrightarrow {OA}  = \left( {100;0;0} \right),\,\,\overrightarrow {OB}  = \left( {10;10;8} \right)\] nên \[\vec n = \left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right] = \left( {0; - 100;1000} \right)\].

Suy ra mặt phẳng \[\left( {OACB} \right)\] có vectơ pháp tuyến là \[\overrightarrow {{n_1}\,}  = \left( {0;1; - 10} \right)\].

Phương trình tổng quát của mặt phẳng \[\left( {OACB} \right)\] là \[y - 10z = 0\].

Do đó \[a = 0,\,c =  - 10,\,d = 0\]. Vậy \[a + c + d = 0 - 10 + 0 =  - 10\].

Đáp án: −10.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Phương trình mặt cầu \(\left( S \right):\,{x^2} + {y^2} + {z^2} = 36\).

Ta có \(MA + MB = \sqrt {{{\left( {x - 26} \right)}^2} + {y^2} + {z^2}}  + \sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 26} \right)}^2} + {z^2}} \).

Áp dụng bất đẳng thức Minkowski ta có:

\(MA + MB = \sqrt {{{\left( {x - 26} \right)}^2} + {y^2} + {z^2}}  + \sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 26} \right)}^2} + {z^2}} \)\( \ge \sqrt {{{\left( {x + y - 52} \right)}^2} + {{\left( {x + y} \right)}^2} + 4{z^2}} \)

\( \ge \sqrt {{{\left( {x + y - 52} \right)}^2} + {{\left( {x + y} \right)}^2}} \).

Điều kiện để \(MA + MB = \sqrt {{{\left( {x + y - 52} \right)}^2} + {{\left( {x + y} \right)}^2}} \) là khi \(z = 0\), khi đó \(\,{x^2} + {y^2} = 36\)

Mặt khác, vì \(M\left( {x;y;z} \right)\) thuộc mặt cầu tâm \(O\), bán kính bằng 6 nên \( - 6 \le x;y;z \le 6\) dó đó \(x + y >  - 12\).

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có \(x + y \le \sqrt {\left( {{1^2} + {1^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}  = \sqrt {2.36}  = 6\sqrt 2 \).

Đặt \(t = x + y \Rightarrow  - 12 < t \le 6\sqrt 2 \), khi đó \(f\left( t \right) = MA + MB = \sqrt {{{\left( {t - 52} \right)}^2} + {t^2}}  = \sqrt {2{t^2} - 104t + {{52}^2}} \).

\(f'\left( t \right) = \frac{{2t - 52}}{{\sqrt {2{t^2} - 104t + {{52}^2}} }}\).

Dễ thấy hàm số \[f'\left( t \right) \le 0\,\]khi \( - 12 < t \le 6\sqrt 2 \). Do đó \(f\left( t \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất trên \( - 12 < t \le 6\sqrt 2 \) khi \(t = 6\sqrt 2 \) và bằng \(f\left( {6\sqrt 2 } \right) = \sqrt {2{t^2} - 104t + {{52}^2}}  = \sqrt {2776 - 624\sqrt 2 }  \approx 44\).

Đáp án: 44.

Lời giải

Do máy bay bay trên đường thẳng đi qua hai điểm \(\left( {200;70;118} \right)\) và \(\left( {80;105;113} \right)\) nên quỹ đạo bay của máy bay là đường thẳng có phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 200 - 24t}\\{y = 70 + 7t}\\{z = 118 - t}\end{array}} \right.\)

Sau 50 giây, độ cao của máy bay giảm 400 m, tức là cao độ của máy bay giảm đi 4. Do máy bay bay với vận tốc không đổi nên sau 25 giây, độ cao của máy bay sẽ giảm đi thêm 200 m, tức là cao độ giảm đi thêm 2. Khi đó, tại thời điểm này, cao độ của máy bay là \(118 - 4 - 2 = 112\).

Xét phương trình \(118 - t = 112 \Leftrightarrow t = 6\). Khi đó, sau 75 giây, toạ độ của máy bay là:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_0} = 200 - 24.6 = 56}\\{{y_0} = 70 + 7.6 = 112}\\{{z_0} = 118 - 6 = 112}\end{array}} \right.\).

Khoảng cách từ sân bay đến máy bay khi đó là

\(S = \sqrt {{{5600}^2} + {{11200}^2} + {{11200}^2}}  = 16800\,{\rm{(m)}} = 16,8\,\,{\rm{(km)}}\).

Đáp án: 16,8.

Câu 6

A. \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 2t\\y = 1 - t\\z = 0\end{array} \right.\).   
B. \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + t\\y = 1 - 2t\\z = 0\end{array} \right.\).              
C. \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + t\\y = 1 - t\\z = 0\end{array} \right.\).                          
D. \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 1 - t\\z = 0\end{array} \right.\).

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

A. \(z + 2 = 0\).               
B. \(z - 2 = 0\).              
C. \(2x - 3y = 0\).                                   
D. \(2x - 3y - 2 = 0\).

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP