Câu hỏi:

07/10/2025 10 Lưu

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, một viên đạn được bắn ra từ vị trí \(A\left( {1;2;3} \right)\) hướng đến vị trí \(B\left( {0;1; - 6} \right)\), bia chắn là mặt phẳng \(\left( P \right):4x - y + 2z + 13 = 0\), đơn vị là kilômét.

a) Điểm \(B\) thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\).

b) Giả sử viên đạn chuyển động thẳng đều theo hướng vectơ \(\vec v = \left( { - 2; - 2; - 18} \right)\) với vận tốc 800 m/s (bỏ qua mọi lực cản và chướng ngại vật), sau một phút viên đạn bắn ra đi qua điểm \(B\).

c) Góc giữa đường thẳng \[AB\] và mặt phẳng \(\left( P \right)\) (làm tròn đến hàng đơn vị) là \(60^\circ \).

d) Hình chiếu vuông góc của \(A\) trên \[\left( {Oxy} \right)\] là \(H\left( {0;2;3} \right)\).

Quảng cáo

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

a) Đúng. Ta có: \(4.0 - 1 + 2.\left( { - 6} \right) + 13 = 0\) \( \Rightarrow B \in \left( P \right)\).

b) Đúng. \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 1; - 1; - 9} \right)\).

Ta thấy \(\overrightarrow v  = 2\overrightarrow {AB} \) \( \Rightarrow \) Hướng chuyển động theo vectơ \(\overrightarrow v \) chính là hướng chuyển động từ \(A\) đến \(B\).

\(AB = \sqrt {{1^2} + {1^2} + {9^2}}  = \sqrt {83} \left( {{\rm{km}}} \right) = 1000\sqrt {83} \left( {\rm{m}} \right)\).

Suy ra thời gian viên đạn bay từ \(A\) đến \(B\) là: \(\frac{{AB}}{{800}} = \frac{{5\sqrt {83} }}{4} \approx 11,39\) giây.

Do đó sau 1 phút viên đạn đã đi qua điểm \(B\).

c) Sai. \(\overrightarrow {BA}  = \left( {1;1;9} \right)\); \(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}}  = \left( {4; - 1;2} \right)\).

\[\sin \left( {AB,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {BA} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} } \right|}} = \frac{{\left| {4 - 1 + 18} \right|}}{{\sqrt {83} .\sqrt {21} }} = \frac{{\sqrt {1743} }}{{83}}\]\( \Rightarrow \widehat {\left( {AB,\left( P \right)} \right)} \approx 30^\circ \).

d) Sai. Hình chiếu vuông góc của \(A\) trên \(\left( {Oxy} \right)\) là \(H\left( {1;2;0} \right)\).

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

a) Sai. Phương trình mặt cầu \[\left( S \right)\] tâm \[I\left( {1;\,3;\,7} \right)\] bán kính 3 km mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng trong không gian là \[{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 7} \right)^2} = 9\].

b) Đúng. Ta có: \[IA = \sqrt {{{\left( {2 - 1} \right)}^2} + {{\left( {2 - 3} \right)}^2} + {{\left( {7 - 7} \right)}^2}}  = \sqrt 2  < 3\] nên điểm \[A\] nằm trong mặt cầu. Vì điểm \[A\] nằm trong mặt cầu nên người dùng điện thoại ở vị trí có toạ độ \[A\left( {2;\,2;\,7} \right)\] có thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó.

c) Đúng. Ta có: \[IB = \sqrt {{{\left( {5 - 1} \right)}^2} + {{\left( {6 - 3} \right)}^2} + {{\left( {7 - 7} \right)}^2}}  = 5 > 3\] nên điểm \[B\] nằm ngoài mặt cầu. Vậy người dùng điện thoại ở vị trí có toạ độ \[B\left( {5;\,6;\,7} \right)\] không thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó.

d) Đúng. Ta có: \[\overrightarrow {IB} \left( {4;\,3;\,0} \right);\] \[IB = \sqrt {{{\left( {5 - 1} \right)}^2} + {{\left( {6 - 3} \right)}^2} + {{\left( {7 - 7} \right)}^2}}  = 5 > 3\] nên điểm \[B\] nằm ngoài mặt cầu. Phương trình đường thẳng \[BI\] dạng: \[\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 4t\\y = 3 + 3t\\z = 7\end{array} \right.\].

Gọi mặt cầu \[\left( S \right) \cap BI \equiv E\] suy ra tọa độ \[E\] là nghiệm của hệ

\[\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 4t\\y = 3 + 3t\\z = 7\\{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 7} \right)^2} = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}t = \frac{3}{5}\\x = \frac{{17}}{5}\\y = \frac{{24}}{5}\\z = 7\end{array} \right. \Rightarrow E\left( {\frac{{17}}{5};\,\frac{{24}}{5};7} \right) \Rightarrow EB \approx 1,7\\\left\{ \begin{array}{l}t =  - \frac{3}{5}\\x =  - \frac{7}{5}\\y = \frac{6}{5}\\z = 7\end{array} \right. \Rightarrow E\left( { - \frac{7}{5};\,\frac{6}{5};7} \right) \Rightarrow EB = 8\end{array} \right.\]

Vậy khoảng cách lớn nhất để một người ở vị trí có toạ độ \[B\left( {5;\,6;\,7} \right)\] di chuyển được tới vùng phủ sóng theo đơn vị kilômét là \[8\,\]km.

Lời giải

Phương trình mặt cầu \(\left( S \right):\,{x^2} + {y^2} + {z^2} = 36\).

Ta có \(MA + MB = \sqrt {{{\left( {x - 26} \right)}^2} + {y^2} + {z^2}}  + \sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 26} \right)}^2} + {z^2}} \).

Áp dụng bất đẳng thức Minkowski ta có:

\(MA + MB = \sqrt {{{\left( {x - 26} \right)}^2} + {y^2} + {z^2}}  + \sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 26} \right)}^2} + {z^2}} \)\( \ge \sqrt {{{\left( {x + y - 52} \right)}^2} + {{\left( {x + y} \right)}^2} + 4{z^2}} \)

\( \ge \sqrt {{{\left( {x + y - 52} \right)}^2} + {{\left( {x + y} \right)}^2}} \).

Điều kiện để \(MA + MB = \sqrt {{{\left( {x + y - 52} \right)}^2} + {{\left( {x + y} \right)}^2}} \) là khi \(z = 0\), khi đó \(\,{x^2} + {y^2} = 36\)

Mặt khác, vì \(M\left( {x;y;z} \right)\) thuộc mặt cầu tâm \(O\), bán kính bằng 6 nên \( - 6 \le x;y;z \le 6\) dó đó \(x + y >  - 12\).

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có \(x + y \le \sqrt {\left( {{1^2} + {1^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}  = \sqrt {2.36}  = 6\sqrt 2 \).

Đặt \(t = x + y \Rightarrow  - 12 < t \le 6\sqrt 2 \), khi đó \(f\left( t \right) = MA + MB = \sqrt {{{\left( {t - 52} \right)}^2} + {t^2}}  = \sqrt {2{t^2} - 104t + {{52}^2}} \).

\(f'\left( t \right) = \frac{{2t - 52}}{{\sqrt {2{t^2} - 104t + {{52}^2}} }}\).

Dễ thấy hàm số \[f'\left( t \right) \le 0\,\]khi \( - 12 < t \le 6\sqrt 2 \). Do đó \(f\left( t \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất trên \( - 12 < t \le 6\sqrt 2 \) khi \(t = 6\sqrt 2 \) và bằng \(f\left( {6\sqrt 2 } \right) = \sqrt {2{t^2} - 104t + {{52}^2}}  = \sqrt {2776 - 624\sqrt 2 }  \approx 44\).

Đáp án: 44.