Với hệ trục tọa độ Oxyz sao cho \(O\) nằm trên mặt nước, mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) là mặt nước, trục \(Oz\) hướng lên trên (đơn vị đo: mét), một con chim bói cá đang săn mồi ở vị trí \[C\] cách mặt nước \[5\,\,{\rm{m,}}\] cách mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right),\left( {Oyz} \right)\) lần lượt là \(6\,\,{\rm{m}}\) và \(2\,{\rm{m}}\), từ vị trí này nó phóng thẳng xuống vị trí con cá ở vị trí \[A\], biết con cá cách mặt nước \(50\,\,{\rm{cm,}}\)cách mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right),\left( {Oyz} \right)\) lần lượt là \(1\,{\rm{m}}\) và \(1,5\,{\rm{m}}\) (tham khảo hình vẽ).

Giả sử vận tốc của con chim bói cá là \(4\,\,{\rm{m/s}}\), hỏi sau bao nhiêu giây thì nó chạm tới mặt nước (làm tròn đến hàng phần trăm)?
Với hệ trục tọa độ Oxyz sao cho \(O\) nằm trên mặt nước, mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) là mặt nước, trục \(Oz\) hướng lên trên (đơn vị đo: mét), một con chim bói cá đang săn mồi ở vị trí \[C\] cách mặt nước \[5\,\,{\rm{m,}}\] cách mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right),\left( {Oyz} \right)\) lần lượt là \(6\,\,{\rm{m}}\) và \(2\,{\rm{m}}\), từ vị trí này nó phóng thẳng xuống vị trí con cá ở vị trí \[A\], biết con cá cách mặt nước \(50\,\,{\rm{cm,}}\)cách mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right),\left( {Oyz} \right)\) lần lượt là \(1\,{\rm{m}}\) và \(1,5\,{\rm{m}}\) (tham khảo hình vẽ).
Giả sử vận tốc của con chim bói cá là \(4\,\,{\rm{m/s}}\), hỏi sau bao nhiêu giây thì nó chạm tới mặt nước (làm tròn đến hàng phần trăm)?
Quảng cáo
Trả lời:

Gọi vị trí của con chim bói cá ban đầu là \(C\) và vị trí của con cá là \(A\).
Khi đó ta có \(C\left( {2;6;5} \right)\) và \(A\left( {1,5\,;1\,; - 0,5} \right).\)
Điểm \(B\) lúc chim bói cá tiếp xúc với mặt nước là giao điểm của đường thẳng \(AC\) và \(\left( {Oxy} \right)\).
Đường thẳng \(AC\) đi qua điểm \(C\left( {2;6;5} \right)\) có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AC} = \left( { - 0,5;\, - 5; - 5,5} \right),\) chọn \(\vec u = \left( { - 1; - 10; - 11} \right).\)
Khi đó phương trình của \(AC:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - t\\y = 6 - 10t\\z = 5 - 11t\end{array} \right.\).
Phương trình của \(\left( {Oxy} \right)\) là \(z = 0.\)
Tọa độ điểm \(B\) là nghiệm \(\left( {x;y;z} \right)\)của hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - t\\y = 6 - 10t\\z = 5 - 11t\\z = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = \frac{5}{{11}}\\x = \frac{{17}}{{11}}\\y = \frac{{16}}{{11}}\\z = 0\end{array} \right.\).
Suy ra \(B\left( {\frac{{17}}{{11}};\frac{{16}}{{11}};0} \right)\) , độ dài đoạn \(CB = \frac{{5\sqrt {222} }}{{11}}\).
Thời gian đi quãng đường \[BC\]là \[t = \frac{{BC}}{v} = \frac{{\frac{{5\sqrt {222} }}{{11}}}}{4} = \frac{{5\sqrt {222} }}{{44}} \approx 1,69\,\left( {\rm{s}} \right)\].
Vậy sau 1,69 giây thì chim bói cá chạm tới mặt nước.
Đáp án: 1,69.
Hot: Danh sách các trường đã công bố điểm chuẩn Đại học 2025 (mới nhất) (2025). Xem ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
a) Sai. Phương trình mặt cầu \[\left( S \right)\] tâm \[I\left( {1;\,3;\,7} \right)\] bán kính 3 km mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng trong không gian là \[{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 7} \right)^2} = 9\].
b) Đúng. Ta có: \[IA = \sqrt {{{\left( {2 - 1} \right)}^2} + {{\left( {2 - 3} \right)}^2} + {{\left( {7 - 7} \right)}^2}} = \sqrt 2 < 3\] nên điểm \[A\] nằm trong mặt cầu. Vì điểm \[A\] nằm trong mặt cầu nên người dùng điện thoại ở vị trí có toạ độ \[A\left( {2;\,2;\,7} \right)\] có thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó.
c) Đúng. Ta có: \[IB = \sqrt {{{\left( {5 - 1} \right)}^2} + {{\left( {6 - 3} \right)}^2} + {{\left( {7 - 7} \right)}^2}} = 5 > 3\] nên điểm \[B\] nằm ngoài mặt cầu. Vậy người dùng điện thoại ở vị trí có toạ độ \[B\left( {5;\,6;\,7} \right)\] không thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó.
d) Đúng. Ta có: \[\overrightarrow {IB} \left( {4;\,3;\,0} \right);\] \[IB = \sqrt {{{\left( {5 - 1} \right)}^2} + {{\left( {6 - 3} \right)}^2} + {{\left( {7 - 7} \right)}^2}} = 5 > 3\] nên điểm \[B\] nằm ngoài mặt cầu. Phương trình đường thẳng \[BI\] dạng: \[\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 4t\\y = 3 + 3t\\z = 7\end{array} \right.\].
Gọi mặt cầu \[\left( S \right) \cap BI \equiv E\] suy ra tọa độ \[E\] là nghiệm của hệ
\[\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 4t\\y = 3 + 3t\\z = 7\\{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 7} \right)^2} = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}t = \frac{3}{5}\\x = \frac{{17}}{5}\\y = \frac{{24}}{5}\\z = 7\end{array} \right. \Rightarrow E\left( {\frac{{17}}{5};\,\frac{{24}}{5};7} \right) \Rightarrow EB \approx 1,7\\\left\{ \begin{array}{l}t = - \frac{3}{5}\\x = - \frac{7}{5}\\y = \frac{6}{5}\\z = 7\end{array} \right. \Rightarrow E\left( { - \frac{7}{5};\,\frac{6}{5};7} \right) \Rightarrow EB = 8\end{array} \right.\]
Vậy khoảng cách lớn nhất để một người ở vị trí có toạ độ \[B\left( {5;\,6;\,7} \right)\] di chuyển được tới vùng phủ sóng theo đơn vị kilômét là \[8\,\]km.
Lời giải
Phương trình mặt cầu \(\left( S \right):\,{x^2} + {y^2} + {z^2} = 36\).
Ta có \(MA + MB = \sqrt {{{\left( {x - 26} \right)}^2} + {y^2} + {z^2}} + \sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 26} \right)}^2} + {z^2}} \).
Áp dụng bất đẳng thức Minkowski ta có:
\(MA + MB = \sqrt {{{\left( {x - 26} \right)}^2} + {y^2} + {z^2}} + \sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 26} \right)}^2} + {z^2}} \)\( \ge \sqrt {{{\left( {x + y - 52} \right)}^2} + {{\left( {x + y} \right)}^2} + 4{z^2}} \)
\( \ge \sqrt {{{\left( {x + y - 52} \right)}^2} + {{\left( {x + y} \right)}^2}} \).
Điều kiện để \(MA + MB = \sqrt {{{\left( {x + y - 52} \right)}^2} + {{\left( {x + y} \right)}^2}} \) là khi \(z = 0\), khi đó \(\,{x^2} + {y^2} = 36\)
Mặt khác, vì \(M\left( {x;y;z} \right)\) thuộc mặt cầu tâm \(O\), bán kính bằng 6 nên \( - 6 \le x;y;z \le 6\) dó đó \(x + y > - 12\).
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có \(x + y \le \sqrt {\left( {{1^2} + {1^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)} = \sqrt {2.36} = 6\sqrt 2 \).
Đặt \(t = x + y \Rightarrow - 12 < t \le 6\sqrt 2 \), khi đó \(f\left( t \right) = MA + MB = \sqrt {{{\left( {t - 52} \right)}^2} + {t^2}} = \sqrt {2{t^2} - 104t + {{52}^2}} \).
\(f'\left( t \right) = \frac{{2t - 52}}{{\sqrt {2{t^2} - 104t + {{52}^2}} }}\).
Dễ thấy hàm số \[f'\left( t \right) \le 0\,\]khi \( - 12 < t \le 6\sqrt 2 \). Do đó \(f\left( t \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất trên \( - 12 < t \le 6\sqrt 2 \) khi \(t = 6\sqrt 2 \) và bằng \(f\left( {6\sqrt 2 } \right) = \sqrt {2{t^2} - 104t + {{52}^2}} = \sqrt {2776 - 624\sqrt 2 } \approx 44\).
Đáp án: 44.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.