Câu hỏi:

07/10/2025 2 Lưu

Hệ Thống Định Vị Vệ Tinh Toàn Cầu Beidou (Bắc Đẩu) hiện tại có 35 vệ tinh, mỗi vệ tinh cách Trái Đất khoảng 35000 km, ta coi Trái Đất là khối cầu có bán kính \(R = 6,4\)(nghìn km). Với hệ tọa độ \(Oxyz\) đã chọn, \(O\) là tâm Trái Đất và đơn vị trên mỗi trục là nghìn km, hai vệ tinh có tọa độ \(A\left( {30;0;0} \right),B\left( {0;30;0} \right)\). Xét điểm \(M\left( {x;y;z} \right)\) thuộc bề mặt Trái Đất. Đặt \(T\) là tổng khoảng cách từ \(M\) đến hai vệ tinh \(A\) và \(B\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(T\) theo đơn vị nghìn km (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).

Quảng cáo

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

Hệ Thống Định Vị Vệ Tinh Toàn Cầu Beidou (Bắc Đẩu) hiện tại có 35 vệ tinh, mỗi vệ tinh cách Trái Đất khoảng 35000 km, ta coi Trái Đất là khối cầu có bán kính \(R = 6,4\)(nghìn km). (ảnh 1)

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(O\left( {0;0;0} \right)\) và bán kính \(R = 6,4\) có phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 40,96\).

Ta có: \(OA = 30;OB = 30;AB = 30\sqrt 2 \). Suy ra \(\Delta OAB\) cân tại \(O\).

Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\), khi đó \(H\left( {15;15;0} \right)\), ta có \(OH \bot AB\).

Đường thẳng \(OH\) đi qua \(O\left( {0;0;0} \right)\) và có VTCP \(\overrightarrow {OH} \left( {15;15;0} \right) = 15\left( {1;1;0} \right)\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = t\\z = 0\end{array} \right.\).

Để \(M \in \left( {OAB} \right)\) thỏa mãn \(MA + MB\) nhỏ nhất thì \(M,A,B\) phải đồng phẳng và \(MA = MB\).

Vì \(MH\) nhỏ nhất nên \(M\) là giao điểm của \(OH\) và mặt cầu \(\left( S \right)\).

Tọa độ \(M\) thỏa mãn phương trình: \({t^2} + {t^2} + {0^2} = 40,96 \Leftrightarrow 2{t^2} = 40,96 \Leftrightarrow t =  \pm \frac{{16\sqrt 2 }}{5}\).

Suy ra \[\left[ \begin{array}{l}{M_1}\left( {\frac{{16\sqrt 2 }}{5};\frac{{16\sqrt 2 }}{5};0} \right) \Rightarrow {M_1}H \approx 14,81\\{M_2}\left( {\frac{{ - 16\sqrt 2 }}{5};\frac{{ - 16\sqrt 2 }}{5};0} \right) \Rightarrow {M_2}H \approx 27,61\end{array} \right..\]

Vậy điểm cần tìm là: \[M\left( {\frac{{16\sqrt 2 }}{5};\frac{{16\sqrt 2 }}{5};0} \right)\] .

\(T = MA + MB = 2MA = 2\sqrt {{{\left( {\frac{{16\sqrt 2 }}{5} - 30} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{16\sqrt 2 }}{5} - 0} \right)}^2} + {0^2}}  \approx 51,7\).

Đáp án: 51,7.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

A. \(x - 2y - 3z + 6 = 0\).                                      
B. \(x - 2y + 3z - 12 = 0\).                        
C. \(x - 2y - 3z - 6 = 0\).                                       
D. \(x - 2y + 3z + 12 = 0\).

Lời giải

Chọn D

Phương trình mặt phẳng đi qua điểm \(A\left( {1;2; - 3} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {1; - 2;3} \right)\) là:

\(1\left( {x - 1} \right) - 2\left( {y - 2} \right) + 3\left( {z + 3} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow x - 2y + 3z + 12 = 0\).

Câu 2

A. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 3\). 
B. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 9\).                                   
C. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 9\). 
D. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 3\).

Lời giải

Chọn B

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( { - 1\,;\,2\,;\,1} \right)\) và bán kính \(R = IA = \sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}}  = 3\) có phương trình là:

\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 9\).

Câu 3

A. \(\frac{2}{3}\).           
B. \(\frac{7}{3}\).         
C. \(\frac{8}{3}\).                
D. \(\frac{4}{3}\).

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

A. \(\overrightarrow u = \left( {1;\,3;\,2} \right).\)                          
B. \(\overrightarrow u = \left( {2;\, - 1;\,2} \right)\).                
C. \(\overrightarrow u = \left( {2;\,1;\,2} \right)\).         
D. \(\overrightarrow u = \left( { - 2;\,1;\,2} \right)\).

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

A. \[\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 1\\z = 1\end{array} \right.\].                          
B. \[\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\\z = 1 + t\end{array} \right.\].                         
C. \[\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 1\\z = 1\end{array} \right.\].                          
D. \[\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 1 + t\\z = 1\end{array} \right.\].

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Phần 2. Trắc nghiệm đúng sai

Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

 Một đài kiểm soát không lưu tại sân bay có nhiệm vụ kiểm soát, điều hành hoạt động bay của máy bay trong vòng bán kính \(70\,{\rm{km}}\). Để theo dõi hành trình của máy bay, ta có thể thiết lập hệ trục toạ độ Oxyz có gốc toạ độ \(O\) trùng với vị trí trung tâm của kiểm soát không lưu, mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) trùng với mặt đất (được coi là mặt phẳng) với trục \(Ox\) hướng về phía tây, trục \(Oy\) hướng về phía nam và trục \(Oz\) hướng thẳng đứng lên trời và đơn vị độ dài trên mỗi trục tọa độ là \(1\,{\rm{km}}\). Một máy bay trực thăng đang ở vị trí \(A\left( { - 65; - 25;30} \right)\) bay theo hướng Tây Nam với độ cao không đổi, vận tốc không đổi \(200\,{\rm{km/h}}\), quỹ đạo bay theo đường thẳng.

a) Khi máy bay ở vị trí \(A\left( { - 65; - 25;30} \right)\) thì đài kiểm soát không lưu của sân bay đã theo dõi được máy bay.

b) Máy bay di chuyển theo hướng Tây Nam với quỹ đạo bay là đường thẳng \(d\) có phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 65 + t\\y =  - 25 + t\\z = 30\end{array} \right.\).

c) Thời gian máy bay di chuyển trong phạm vi đài kiểm soát không lưu của sân bay theo dõi được là \(35\) phút.

d) Vùng kiểm không lưu của đài kiểm soát trên là vùng ở bên trong và trên bề mặt của mặt cầu \(\left( S \right)\) có phương trình: \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 4900\).

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

A. 8.                                
B. 16.                            
C. \[2\sqrt {14} \].                             
D. 4.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP