Cho hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y > 0\\2x + 5y < 0\end{array} \right.\)có tập nghiệm là \(S\). Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) \(\left( {1;1} \right) \in S\).

b) \(\left( { - 1; - 1} \right) \in S\).

c) \(\left( {1; - \frac{1}{2}} \right) \in S\).

d) \(\left( { - \frac{1}{2};\frac{2}{5}} \right) \in S\).

Điều kiện: \(0 \le x \le 2;0 \le y \le 1,5\)

Khi đó số protein có được là \(800x + 600y\) và số lipit có được là \(200x + 400y\)

Vì gia đình đó cần ít nhất 1200 đơn vị protein và 800 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày nên điều kiện tương ứng là:

\(800x + 600y \ge 1200 \Leftrightarrow 4x + 3y \ge 6{\rm{ v\`a  }}200x + 400y \ge 800 \Leftrightarrow x + 2y \ge 4\)

Ta có hệ bất phương trình sau:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{0 \le x \le 2}\\{0 \le y \le 1,5}\\{4x + 3y \ge 6}\\{x + 2y \ge 4}\end{array}} \right.\)(*)

Miền nghiệm của hệ trên là miền ngũ giác \(ABCDE\) kể cả các cạnh của ngũ giác.

Chi phí để mua \(x\;kg\) thịt bò và \(y\;kg\) thịt lợn là \(T = 200x + 100y\) (nghìn đồng).

Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của \(T(x;y) = 200x + 100y\) trên miền nghiệm của hệ \((*)\).

Tìm tọa độ các điểm \(A,B,C,D,E\).

Tọa độ điểm \(A\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4x + 5y - 6 = 0}\\{y = \frac{3}{2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{3}{8}}\\{y = \frac{3}{2}}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy \(A\left( {\frac{3}{8};\frac{3}{2}} \right)\).

Tọa độ điềm \(C\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{y = 0}\end{array}} \right.\). Vậy \(C(2;0)\).

Tọa độ điểm \(D\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{x + 2y - 4 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{y = 1}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy \(D(2;1)\).

Tọa độ điểm \(E\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + 2y - 4 = 0}\\{y = \frac{3}{2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{y = \frac{3}{2}}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy \(E\left( {1;\frac{3}{2}} \right)\).

Ta thấy \(T(x;y) = 200x + 100y\) đạt giá trị nhỏ nhất chỉ có thể tại các điểm \(A,B,C,D,E\).

Tại \(A\left( {\frac{3}{8};\frac{3}{2}} \right)\) thì \(T = 200 \cdot \frac{3}{8} + 100 \cdot \frac{3}{2} = 225\) (nghìn đồng).

Tại \(B\left( {\frac{3}{2};0} \right)\) thì \(T = 200 \cdot \frac{3}{2} + 100 \cdot 0 = 300\) (nghìn đồng).

Tại \(C(2;0)\) thì \(T = 200.2 + 100.0 = 400\) (nghìn đồng).

Tại \(D(2;1)\) thì \(T = 200.2 + 100.1 = 500\) (nghìn đồng).

Tại \(E\left( {1;\frac{3}{2}} \right)\) thì \(T = 200.1 + 100 \cdot \frac{3}{2} = 350\) (nghìn đồng).

Như vậy để chi phí bỏ ra thấp nhất mà vẫn đảm bảo nhu cầu dinh dưỡng khi \(x = \frac{3}{8}\) và \(y = \frac{3}{2} \Rightarrow 4{x^2} + {y^2} = 4 \cdot {\left( {\frac{3}{8}} \right)^2} + {\left( {\frac{3}{2}} \right)^2} = \frac{{45}}{{16}}\).

Gọi \(x,y(ha)\) lần lượt là số \[ha\] trồng bắp và khoai lang.

Điều kiện \(0 \le x \le 4;0 \le y \le 4;x + y \le 4\); \(10x + 15y \le 45 \Rightarrow 2x + 3y \le 9\)

Số tiền thu được là \(T(x,y) = 2x + 2,5y\) (triệu đồng).

Ta có hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{0 \le x \le 4}\\{0 \le y \le 4}\\{x + y \le 4}\\{2x + 3y \le 9}\end{array}} \right.\)\((*)\)

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của \(T(x;y) = 2x + 2,5y\) trên miền nghiệm của hệ \((*)\).

Tìm tọa độ các điểm \(O,A,B,C\).

Tọa độ điểm \(A\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{2x + 3y - 9 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{y = 3}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy \(A(0;3)\).

Tọa độ điểm \(B\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y - 4 = 0}\\{2x + 3y - 9 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3}\\{y = 1}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy \(B(3;1)\).

Tọa độ điểm \(C\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y - 4 = 0}\\{y = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 4}\\{y = 0}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy \(C(4;0)\).

Tọa độ điểm \(O(0;0)\).

Ta thấy \(T(x;y) = 2x + 2,5y\) đạt giá trị lớn nhất chỉ có thể tại các điểm \(O,A,B,C\).

Tại \(A(0;3)\) thì \(T = 2.0 + 2,5.3 = 7,5\) (triệu đồng).

Tại \(B(3;1)\) thì \(T = 2.3 + 2,5.1 = 8,5\) (triệu đồng).

Tại \(C(4;0)\) thì \(T = 2.4 + 2,5.0 = 8\) (triệu đồng).

Tại \(O(0;0)\) thì \(T = 2.0 + 2,5.0 = 0\) (triệu đồng).

Vậy cần trồng \(3ha\) bắp và \(1ha\) khoai lang để thu được số tiền nhiều nhất.