Cho miền gạch chéo như hình vẽ dưới đây

Miền trên đây biểu diễn tập nghiệm của hệ bất phương trình nào?

Điều kiện: \(0 \le x \le 2;0 \le y \le 1,5\)

Khi đó số protein có được là \(800x + 600y\) và số lipit có được là \(200x + 400y\)

Vì gia đình đó cần ít nhất 1200 đơn vị protein và 800 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày nên điều kiện tương ứng là:

\(800x + 600y \ge 1200 \Leftrightarrow 4x + 3y \ge 6{\rm{ v\`a  }}200x + 400y \ge 800 \Leftrightarrow x + 2y \ge 4\)

Ta có hệ bất phương trình sau:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{0 \le x \le 2}\\{0 \le y \le 1,5}\\{4x + 3y \ge 6}\\{x + 2y \ge 4}\end{array}} \right.\)(*)

Miền nghiệm của hệ trên là miền ngũ giác \(ABCDE\) kể cả các cạnh của ngũ giác.

Chi phí để mua \(x\;kg\) thịt bò và \(y\;kg\) thịt lợn là \(T = 200x + 100y\) (nghìn đồng).

Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của \(T(x;y) = 200x + 100y\) trên miền nghiệm của hệ \((*)\).

Tìm tọa độ các điểm \(A,B,C,D,E\).

Tọa độ điểm \(A\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4x + 5y - 6 = 0}\\{y = \frac{3}{2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{3}{8}}\\{y = \frac{3}{2}}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy \(A\left( {\frac{3}{8};\frac{3}{2}} \right)\).

Tọa độ điềm \(C\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{y = 0}\end{array}} \right.\). Vậy \(C(2;0)\).

Tọa độ điểm \(D\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{x + 2y - 4 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{y = 1}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy \(D(2;1)\).

Tọa độ điểm \(E\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + 2y - 4 = 0}\\{y = \frac{3}{2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{y = \frac{3}{2}}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy \(E\left( {1;\frac{3}{2}} \right)\).

Ta thấy \(T(x;y) = 200x + 100y\) đạt giá trị nhỏ nhất chỉ có thể tại các điểm \(A,B,C,D,E\).

Tại \(A\left( {\frac{3}{8};\frac{3}{2}} \right)\) thì \(T = 200 \cdot \frac{3}{8} + 100 \cdot \frac{3}{2} = 225\) (nghìn đồng).

Tại \(B\left( {\frac{3}{2};0} \right)\) thì \(T = 200 \cdot \frac{3}{2} + 100 \cdot 0 = 300\) (nghìn đồng).

Tại \(C(2;0)\) thì \(T = 200.2 + 100.0 = 400\) (nghìn đồng).

Tại \(D(2;1)\) thì \(T = 200.2 + 100.1 = 500\) (nghìn đồng).

Tại \(E\left( {1;\frac{3}{2}} \right)\) thì \(T = 200.1 + 100 \cdot \frac{3}{2} = 350\) (nghìn đồng).

Như vậy để chi phí bỏ ra thấp nhất mà vẫn đảm bảo nhu cầu dinh dưỡng khi \(x = \frac{3}{8}\) và \(y = \frac{3}{2} \Rightarrow 4{x^2} + {y^2} = 4 \cdot {\left( {\frac{3}{8}} \right)^2} + {\left( {\frac{3}{2}} \right)^2} = \frac{{45}}{{16}}\).

Gọi \(x,y(xe)\) lần lượt là số xe loại \(A\) và \(B\) cần thuê.

Khi đó, số tiền cần bỏ ra để thuê xe là \(F(x;y) = 5x + 4y\) (triệu đồng)

Ta có \(x\) xe loại \(A\) chở được \(30x\) người và \(0,8x\) tấn hàng; \(y\) xe loại \(B\) chở được \(20y\) người và \(1,6y\) tấn hàng.

Suy ra \(x\) xe loại \(A\) và \(y\) xe loại \(B\) chở được \(30x + 20y\) người và \(0,8x + 1,6y\) tấn hàng.

Ta có hệ bất phương trình sau: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{30x + 20y \ge 180}\\{0,8x + 1,6y \ge 8}\\{0 \le x \le 10}\\{0 \le y \le 9}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x + 2y \ge 18}\\{x + 2y \ge 10}\\{0 \le x \le 10}\\{0 \le y \le 9}\end{array}} \right.} \right.\) (*)

Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của \(F(x;y)\) trên miền nghiệm của hệ (*).

Miền nghiệm của hệ \((*)\) là tứ giác \(ABCD\) (kể cả bờ)

Tìm tọa độ các điểm \(A,B,C,D\).

Tọa độ điểm \(A\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x + 2y - 18 = 0}\\{y = 9}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{y = 9}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy \(A(0;9)\).

Tọa độ điểm \(B\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x + 2y - 18 = 0}\\{x + 2y - 10 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 4}\\{y = 3}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy \(B(4;3)\).

Tọa độ điểm \(C\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 10}\\{x + 2y - 10 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 10}\\{y = 0}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy \(C(10;0)\).

Tọa độ điểm \(D\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 10}\\{y = 9}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 10}\\{y = 9}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy \(D(10;9)\).

Ta thấy \(F(x;y) = 5x + 4y\) đạt giá trị nhỏ nhất chỉ có thể tại các điểm \(A,B,C,D\).

Tại \(A(0;9)\) thì \(F = 36\) (triệu đồng).

Tại \(B(4;3)\) thì \(F = 32\) (triệu đồng).

Tại \(C(10;0)\) thì \(F = 50\) (triệu đồng).

Tại \(D(10;9)\) thì \(F = 86\) (triệu đồng).

Như vậy để chi phí thấp nhất cần thuê 4 xe loại \(A\) và 3 xe loại \(B\).