Trong một đợt dã ngoại, một trường học cần thuê xe chở 180 người và 8 tấn hàng. Nơi thuê xe có hai loại xe \(A\) và \(B\), trong đó xe \(A\) có 10 chiếc và xe \(B\) có 9 chiếc. Một xe loại \(A\) cho thuê với giá 5 triệu đồng và một xe loại \(B\) cho thuê với giá 4 triệu đồng. Biết rằng mỗi xe loại \(A\) có thể chở tối đa 30 người và 0,8 tấn hàng, mỗi xe loại \(B\) có thể chở tối đa 20 người và 1,6 tấn hàng. Tìm số xe mỗi loại sao cho chi phí thuê là thấp nhất.

Điều kiện: \(0 \le x \le 2;0 \le y \le 1,5\)

Khi đó số protein có được là \(800x + 600y\) và số lipit có được là \(200x + 400y\)

Vì gia đình đó cần ít nhất 1200 đơn vị protein và 800 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày nên điều kiện tương ứng là:

\(800x + 600y \ge 1200 \Leftrightarrow 4x + 3y \ge 6{\rm{ v\`a  }}200x + 400y \ge 800 \Leftrightarrow x + 2y \ge 4\)

Ta có hệ bất phương trình sau:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{0 \le x \le 2}\\{0 \le y \le 1,5}\\{4x + 3y \ge 6}\\{x + 2y \ge 4}\end{array}} \right.\)(*)

Miền nghiệm của hệ trên là miền ngũ giác \(ABCDE\) kể cả các cạnh của ngũ giác.

Chi phí để mua \(x\;kg\) thịt bò và \(y\;kg\) thịt lợn là \(T = 200x + 100y\) (nghìn đồng).

Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của \(T(x;y) = 200x + 100y\) trên miền nghiệm của hệ \((*)\).

Tìm tọa độ các điểm \(A,B,C,D,E\).

Tọa độ điểm \(A\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4x + 5y - 6 = 0}\\{y = \frac{3}{2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{3}{8}}\\{y = \frac{3}{2}}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy \(A\left( {\frac{3}{8};\frac{3}{2}} \right)\).

Tọa độ điềm \(C\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{y = 0}\end{array}} \right.\). Vậy \(C(2;0)\).

Tọa độ điểm \(D\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{x + 2y - 4 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{y = 1}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy \(D(2;1)\).

Tọa độ điểm \(E\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + 2y - 4 = 0}\\{y = \frac{3}{2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{y = \frac{3}{2}}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy \(E\left( {1;\frac{3}{2}} \right)\).

Ta thấy \(T(x;y) = 200x + 100y\) đạt giá trị nhỏ nhất chỉ có thể tại các điểm \(A,B,C,D,E\).

Tại \(A\left( {\frac{3}{8};\frac{3}{2}} \right)\) thì \(T = 200 \cdot \frac{3}{8} + 100 \cdot \frac{3}{2} = 225\) (nghìn đồng).

Tại \(B\left( {\frac{3}{2};0} \right)\) thì \(T = 200 \cdot \frac{3}{2} + 100 \cdot 0 = 300\) (nghìn đồng).

Tại \(C(2;0)\) thì \(T = 200.2 + 100.0 = 400\) (nghìn đồng).

Tại \(D(2;1)\) thì \(T = 200.2 + 100.1 = 500\) (nghìn đồng).

Tại \(E\left( {1;\frac{3}{2}} \right)\) thì \(T = 200.1 + 100 \cdot \frac{3}{2} = 350\) (nghìn đồng).

Như vậy để chi phí bỏ ra thấp nhất mà vẫn đảm bảo nhu cầu dinh dưỡng khi \(x = \frac{3}{8}\) và \(y = \frac{3}{2} \Rightarrow 4{x^2} + {y^2} = 4 \cdot {\left( {\frac{3}{8}} \right)^2} + {\left( {\frac{3}{2}} \right)^2} = \frac{{45}}{{16}}\).

Gọi \(x,y(ha)\) lần lượt là số \[ha\] trồng bắp và khoai lang.

Điều kiện \(0 \le x \le 4;0 \le y \le 4;x + y \le 4\); \(10x + 15y \le 45 \Rightarrow 2x + 3y \le 9\)

Số tiền thu được là \(T(x,y) = 2x + 2,5y\) (triệu đồng).

Ta có hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{0 \le x \le 4}\\{0 \le y \le 4}\\{x + y \le 4}\\{2x + 3y \le 9}\end{array}} \right.\)\((*)\)

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của \(T(x;y) = 2x + 2,5y\) trên miền nghiệm của hệ \((*)\).

Tìm tọa độ các điểm \(O,A,B,C\).

Tọa độ điểm \(A\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{2x + 3y - 9 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{y = 3}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy \(A(0;3)\).

Tọa độ điểm \(B\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y - 4 = 0}\\{2x + 3y - 9 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3}\\{y = 1}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy \(B(3;1)\).

Tọa độ điểm \(C\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y - 4 = 0}\\{y = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 4}\\{y = 0}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy \(C(4;0)\).

Tọa độ điểm \(O(0;0)\).

Ta thấy \(T(x;y) = 2x + 2,5y\) đạt giá trị lớn nhất chỉ có thể tại các điểm \(O,A,B,C\).

Tại \(A(0;3)\) thì \(T = 2.0 + 2,5.3 = 7,5\) (triệu đồng).

Tại \(B(3;1)\) thì \(T = 2.3 + 2,5.1 = 8,5\) (triệu đồng).

Tại \(C(4;0)\) thì \(T = 2.4 + 2,5.0 = 8\) (triệu đồng).

Tại \(O(0;0)\) thì \(T = 2.0 + 2,5.0 = 0\) (triệu đồng).

Vậy cần trồng \(3ha\) bắp và \(1ha\) khoai lang để thu được số tiền nhiều nhất.