Một gia đình cần ít nhất \(900\) đơn vị protein và \(400\) đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày. Mỗi kg thịt lợn chứa \(800\) đơn vị protein và \(200\)đơn vị lipit. Mỗi kg cá chứa \(600\) đơn vị protein và \(400\)đơn vị lipit. Biết rằng gia đình này chỉ mua tối đa \(1,6\) kg thịt lợn và \(1,1\) kg thịt cá. Giá tiền \(1\) kg thịt lợn là \(45\) nghìn đồng và \(1\) kg thịt cá là \(35\) nghìn đồng. Hỏi gia đình đó phải mua bao nhiêu kg mỗi loại để số tiền bỏ ra ít nhất.

Điều kiện: \(0 \le x \le 2;0 \le y \le 1,5\)

Khi đó số protein có được là \(800x + 600y\) và số lipit có được là \(200x + 400y\)

Vì gia đình đó cần ít nhất 1200 đơn vị protein và 800 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày nên điều kiện tương ứng là:

\(800x + 600y \ge 1200 \Leftrightarrow 4x + 3y \ge 6{\rm{ v\`a  }}200x + 400y \ge 800 \Leftrightarrow x + 2y \ge 4\)

Ta có hệ bất phương trình sau:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{0 \le x \le 2}\\{0 \le y \le 1,5}\\{4x + 3y \ge 6}\\{x + 2y \ge 4}\end{array}} \right.\)(*)

Miền nghiệm của hệ trên là miền ngũ giác \(ABCDE\) kể cả các cạnh của ngũ giác.

Chi phí để mua \(x\;kg\) thịt bò và \(y\;kg\) thịt lợn là \(T = 200x + 100y\) (nghìn đồng).

Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của \(T(x;y) = 200x + 100y\) trên miền nghiệm của hệ \((*)\).

Tìm tọa độ các điểm \(A,B,C,D,E\).

Tọa độ điểm \(A\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4x + 5y - 6 = 0}\\{y = \frac{3}{2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{3}{8}}\\{y = \frac{3}{2}}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy \(A\left( {\frac{3}{8};\frac{3}{2}} \right)\).

Tọa độ điềm \(C\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{y = 0}\end{array}} \right.\). Vậy \(C(2;0)\).

Tọa độ điểm \(D\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{x + 2y - 4 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{y = 1}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy \(D(2;1)\).

Tọa độ điểm \(E\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + 2y - 4 = 0}\\{y = \frac{3}{2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{y = \frac{3}{2}}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy \(E\left( {1;\frac{3}{2}} \right)\).

Ta thấy \(T(x;y) = 200x + 100y\) đạt giá trị nhỏ nhất chỉ có thể tại các điểm \(A,B,C,D,E\).

Tại \(A\left( {\frac{3}{8};\frac{3}{2}} \right)\) thì \(T = 200 \cdot \frac{3}{8} + 100 \cdot \frac{3}{2} = 225\) (nghìn đồng).

Tại \(B\left( {\frac{3}{2};0} \right)\) thì \(T = 200 \cdot \frac{3}{2} + 100 \cdot 0 = 300\) (nghìn đồng).

Tại \(C(2;0)\) thì \(T = 200.2 + 100.0 = 400\) (nghìn đồng).

Tại \(D(2;1)\) thì \(T = 200.2 + 100.1 = 500\) (nghìn đồng).

Tại \(E\left( {1;\frac{3}{2}} \right)\) thì \(T = 200.1 + 100 \cdot \frac{3}{2} = 350\) (nghìn đồng).

Như vậy để chi phí bỏ ra thấp nhất mà vẫn đảm bảo nhu cầu dinh dưỡng khi \(x = \frac{3}{8}\) và \(y = \frac{3}{2} \Rightarrow 4{x^2} + {y^2} = 4 \cdot {\left( {\frac{3}{8}} \right)^2} + {\left( {\frac{3}{2}} \right)^2} = \frac{{45}}{{16}}\).

Gọi \(x,y(xe)\) lần lượt là số xe loại \(A\) và \(B\) cần thuê.

Khi đó, số tiền cần bỏ ra để thuê xe là \(F(x;y) = 5x + 4y\) (triệu đồng)

Ta có \(x\) xe loại \(A\) chở được \(30x\) người và \(0,8x\) tấn hàng; \(y\) xe loại \(B\) chở được \(20y\) người và \(1,6y\) tấn hàng.

Suy ra \(x\) xe loại \(A\) và \(y\) xe loại \(B\) chở được \(30x + 20y\) người và \(0,8x + 1,6y\) tấn hàng.

Ta có hệ bất phương trình sau: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{30x + 20y \ge 180}\\{0,8x + 1,6y \ge 8}\\{0 \le x \le 10}\\{0 \le y \le 9}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x + 2y \ge 18}\\{x + 2y \ge 10}\\{0 \le x \le 10}\\{0 \le y \le 9}\end{array}} \right.} \right.\) (*)

Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của \(F(x;y)\) trên miền nghiệm của hệ (*).

Miền nghiệm của hệ \((*)\) là tứ giác \(ABCD\) (kể cả bờ)

Tìm tọa độ các điểm \(A,B,C,D\).

Tọa độ điểm \(A\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x + 2y - 18 = 0}\\{y = 9}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{y = 9}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy \(A(0;9)\).

Tọa độ điểm \(B\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x + 2y - 18 = 0}\\{x + 2y - 10 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 4}\\{y = 3}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy \(B(4;3)\).

Tọa độ điểm \(C\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 10}\\{x + 2y - 10 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 10}\\{y = 0}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy \(C(10;0)\).

Tọa độ điểm \(D\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 10}\\{y = 9}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 10}\\{y = 9}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy \(D(10;9)\).

Ta thấy \(F(x;y) = 5x + 4y\) đạt giá trị nhỏ nhất chỉ có thể tại các điểm \(A,B,C,D\).

Tại \(A(0;9)\) thì \(F = 36\) (triệu đồng).

Tại \(B(4;3)\) thì \(F = 32\) (triệu đồng).

Tại \(C(10;0)\) thì \(F = 50\) (triệu đồng).

Tại \(D(10;9)\) thì \(F = 86\) (triệu đồng).

Như vậy để chi phí thấp nhất cần thuê 4 xe loại \(A\) và 3 xe loại \(B\).