Từ hai vị trí \(A\) và \(B\) của một tòa nhà, người ta quan sát đỉnh \(C\)của ngọn núi. Biết rằng độ cao \(AB = 70{\rm{m}}\), phương nhìn \(AC\) tạo với phương nằm ngang góc\({30^0}\), phương nhìn \(BC\) tạo với phương nằm ngang góc \({15^0}30'\) (tham khảo hình vẽ). Ngọn núi đó có độ cao so với mặt đất gần nhất với giá trị nào sau đây?
               

Chọn D

Từ giả thiết, ta suy ra tam giác \(ABC\) có \[\widehat {CAB} = {60^0}\], \[\widehat {ABC} = {105^0}30'\]và \[AB = 70.\]

Khi đó\[\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^0} \Leftrightarrow \widehat C = {180^0} - \left( {\widehat A + \widehat B} \right) = {180^0} - {165^0}30' = {14^0}30'\].

Theo định lí sin, ta có \[\frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{{AB}}{{\sin C}}\] hay \[\frac{{AC}}{{\sin {{105}^0}30'}} = \frac{{70}}{{\sin {{14}^0}30'}}\]

Do đó \[AC = \frac{{70.\sin {{105}^0}30'}}{{\sin {{14}^0}30'}} \approx 269,4\,{\rm{m}}\].

Gọi \[CH\] là khoảng cách từ \(C\)đến mặt đất. Tam giác vuông \(ACH\) có cạnh \(CH\) đối diện với góc \[{30^0}\] nên \[CH = \frac{{AC}}{2} = \frac{{269,4}}{2} = 134,7\,{\rm{m}}\].

Vậy ngọn núi cao khoảng \(135m\).