Cho hình vuông OABC có cạnh bằng 4 được chia thành hai phần bởi đường cong (C) có phương trình \(y = \frac{1}{4}{x^2}\). Gọi \({S_1},{S_2}\) lần lượt là diện tích của phần không tô màu và tô màu như hình. Tính tỉ số \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}}\).

Cho đồ thị hàm số \(y = {x^2} - 3x + 2\) và \(y = x - 1\) và \({S_1};{S_2}\) là phần diện tích phần được tô như hình bên dưới

a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^2} - 3x + 2\) và \(y = x - 1\) là \(\int\limits_0^3 {\left( { - {x^2} + 4x - 3} \right)dx} \).

b) \({S_1} = \frac{4}{3}\).

c) \({S_1} = {S_2}\).

d) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^2} - 3x + 2,y = x - 1,x = 0,x = 3\) là \(\int\limits_0^3 {\left( { - {x^2} + 4x - 3} \right)dx = 1} \).

Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \sqrt {x + 4} \), trục hoành và trục tung. Biết đường thẳng \(d:ax + by - 16 = 0\) đi qua \(A\left( {0;2} \right)\) và chia (H) thành hai phần có diện tích bằng nhau. Tính \(a + b\).

Cho hàm số \(y = \sqrt {x + 2} \left( {x \ge - 2} \right)\) và đường thẳng \(y = x\).

a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \sqrt {x + 2} \) và đường thẳng \(y = x\), hai đường thẳng \(x = 0,x = 2\) là \(S = \frac{{10}}{3} - \frac{{2\sqrt 2 }}{9}\) (đơn vị diện tích).

b) Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng y = x, trục hoành, hai đường thẳng x = 1, x = 3 quanh trục Ox là 5π (đơn vị diện tích).

c) Diện tích hình phẳng D giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \sqrt {x + 2} \left( {x \ge - 2} \right)\), trục tung, trục hoành và đường thẳng x = 2 là \({S_D} = \frac{{16}}{3} - \frac{{4\sqrt 2 }}{3}\) (đơn vị diện tích).

d) Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng D quanh trục Ox là 6π (đơn vị diện tích).

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường \(y = {x^2} - 4,y = 0,x = - 2,x = 2\).

a) Công thức tính diện tích hình phẳng (H) là \({S_H} = \int\limits_{ - 2}^2 {\left( {{x^2} - 4} \right)dx} \).

b) Diện tích hình phẳng (H) bằng \(\frac{{32}}{3}\).

c) Công thức tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng (H) xung quanh trục Ox là \(V = \int\limits_{ - 2}^2 {{{\left( {{x^2} - 4} \right)}^2}dx} \).

d) Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng (H) xung quanh trục Ox bằng \(\frac{{512}}{{15}}\).

Nếu cắt chậu nước có hình dạng như hình vẽ bằng mặt phẳng song song và cách mặt đáy x (cm), (0 ≤ x ≤ 16) thì mặt cắt là hình tròn có bán kính \(\left( {10 + \sqrt x } \right)\) (cm). Tính dung tích của chậu (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của cm³).