Cho phân thức \(P = \frac{{{x^2} - 4}}{{{x^2} - 5x + 6}}.\)

          a) Với \(x \ne 2\) hoặc \(x \ne 3\) thì phân thức \(P\) xác định.

          b) Rút gọn phân thức \(P\) ta được \(P = \frac{{x - 2}}{{x - 3}}.\)

          c) Có một giá trị của \(x\) để \(P = 2.\)

          d) Với \(x > 3\) thì giá trị của \(P\) là số dương.

a) Sai.

Phân thức \(P\) xác định khi \({x^2} - 5x + 6 \ne 0,\) suy ra \(\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) \ne 0,\) suy ra \(x - 2 \ne 0\) và \(x - 3 \ne 0.\)

Do đó, \(x \ne 2\) và \(x \ne 3.\) Vậy với \(x \ne 2\) và \(x \ne 3\) thì phân thức \(P\) xác định.

b) Sai.

Ta có: \(P = \frac{{{x^2} - 4}}{{{x^2} - 5x + 6}} = \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \frac{{x + 2}}{{x - 3}}.\) Vậy rút gọn phân thức \(P\) ta được \(P = \frac{{x + 2}}{{x - 3}}.\)

c) Đúng.

Với \(P = 2\) thì \(\frac{{x + 2}}{{x - 3}} = 2,\) suy ra \(x + 2 = 2\left( {x - 3} \right),\) suy ra \(x + 2 = 2x - 6.\) Do đó, \(x = - 8\) (thỏa mãn).

Vậy có một giá trị của \(x\) để \(P = 2.\)

d) Đúng.

Với \(x > 3\) thì \(x - 3 > 0,\;\,x + 2 > 0\) nên \(\frac{{x + 2}}{{x - 3}} > 0\) với \(x > 3.\)

Vậy với \(x > 3\) thì giá trị của \(P\) là số dương.