Cho hình phẳng được tô màu trong hình bên dưới

a) Hình phẳng được tô màu trong hình trên được giới hạn các đồ thị \(y = {x^2},y = 0,x = 1,x = 2\).

b) Diện tích hình phẳng phần tô màu trong hình vẽ là \(\int\limits_1^2 {{x^2}dx} \).

c) Hình phẳng được gạch chéo trong hình trên được giới hạn các đồ thị \(y = {x^2},y = 0,x = 0,x = 2\).

d) Diện tích hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bằng \(\frac{4}{3}\).

Tính thể tích vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng (phần gạch sọc của hình vẽ) xung quanh trục Ox (làm tròn đến hàng phần trăm).

Nếu cắt chậu nước có hình dạng như hình vẽ bằng mặt phẳng song song và cách mặt đáy x (cm), (0 ≤ x ≤ 16) thì mặt cắt là hình tròn có bán kính \(\left( {10 + \sqrt x } \right)\) (cm). Tính dung tích của chậu (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của cm³).

PHẦN III. TRẢ LỜI NGẮN

Biết diện tích phần tam giác cong OAB trong hình vẽ bên có diện tích là \(\frac{a}{b}\) với \(a,b \in \mathbb{Z}\) và phân số \(\frac{a}{b}\) tối giản.

Tính hiệu \(b - a\).

Cho \({S_1},{S_2}\) là diện tích các hình phẳng được mô tả trong hình.

a) Phương trình đường thẳng d là \(y = x\).

b) Phương trình \(\left( P \right):y = - {x^2} - 4x\).

c) \({S_1} = \int\limits_0^3 {\left( { - {x^2} + 3x} \right)dx} \).

d) \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{27}}{{38}}\).

Hình bên dưới minh họa mặt đứng của một con kênh đặt trong hệ trục tọa độ Oxy. Đáy của con kênh là một đường cong cho bởi phương trình \(y = f\left( x \right) = \frac{3}{{100}}\left( { - \frac{1}{3}{x^3} + 5{x^2}} \right)\). Biết đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét, diện tích mặt cắt đứng của mức nước trong con kênh là một phân số tối giản có dạng \(\frac{a}{b}\) m², trong đó \(a,b \in \mathbb{N}*\). Tìm a.