Nhân dịp kỷ niệm \[50\] năm ngày thành lập trường, các học sinh lựa chọn tham gia thi đấu thể thao hoặc biểu diễn văn nghệ. Lớp \[12A\] có \[60\% \] số học sinh tham gia thi đấu thể thao và còn lại \[40\% \] số học sinh tham gia biểu diễn văn nghệ. Biết rằng các bạn nữ đều tham gia biểu diễn văn nghệ. Trong số các bạn nam có \[20\% \] tham gia văn nghệ và \[80\% \] tham gia thi đấu thể thao. Chọn ngẫu nhiên \[1\] học sinh trong lớp. Biết rằng học sinh này tham gia biểu diễn văn nghệ, xác suất để học sinh này là nữ là bao nhiêu phần trăm?

Gọi \(A\) là biến cố chọn đồng xu thứ \(n\,\,\left( {n = 1;\,2;\,3} \right)\).

\(B\) là biến cố tung hai lần thì thấy xuất hiện một lần mặt sấp và một lần mặt ngửa.

Vì chọn ngẫu nhiên nên \(P\left( {{A_1}} \right) = P\left( {{A_2}} \right) = P\left( {{A_3}} \right) = \frac{1}{3}\).

Lấy ngẫu nhiên một đồng xu tung hai lần được một mặt sấp và một mặt ngửa thì ta có ba trường hợp như sau:

Trường hợp 1: Chọn được đồng xu thứ nhất là S-N và N-S nên \(P\left( {B|{A_1}} \right) = 2.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{1}{2}\).

Trường hợp 2: Chọn được đồng xu thứ hai là S-N và N-S nên ta có:

\(P\left( {B|{A_2}} \right) = 0,7.0,3 + 0,3.0,7 = 0,42\).

Trường hợp 3: Chọn được đồng xu thứ ba là N-N nên \(P\left( {B|{A_3}} \right) = 0\).

Áp dụng công thức Bayes ta tính được xác suất chọn được đồng xu thứ hai là:

\(P\left( {{A_2}|B} \right) = \frac{{P\left( {B|{A_2}} \right).P\left( {{A_2}} \right)}}{{P\left( {{A_1}} \right).P\left( {B|{A_1}} \right) + P\left( {{A_2}} \right).P\left( {B|{A_2}} \right) + P\left( {{A_3}} \right).P\left( {B|{A_3}} \right)}} = \frac{{0,42.\frac{1}{3}}}{{\frac{1}{3}.\frac{1}{2} + 0,42.\frac{1}{3} + 0.\frac{1}{3}}} \approx 0,46\).

Vậy xác suất chọn được đồng xu thứ hai là \(0,46\).

Đáp án: 0,46.

Gọi \(A\) là biến cố “Người đó là trẻ em”;

\(B\) là biến cố “Người đó thích bộ phim”;

\(C\) là biến cố “Người đó xem tiếp phần 2 bộ phim”.

Xét người đi xem là trẻ em có \(P\left( A \right) = 0,7\).

Suy ra \(P\left( {BC} \right) = 50\% = 0,5\), \(P\left( {B\overline C } \right) = 30\% = 0,3\), \[P\left( {\overline B \overline C } \right) = 20\% = 0,2\], \[P\left( {\overline B C} \right) = 0\].

Xét người đi xem là người lớn có \(P\left( {\overline A } \right) = 0,3\).

\(P\left( {BC} \right) = 20\% = 0,2\), \(P\left( {B\overline C } \right) = 10\% = 0,1\), \[P\left( {\overline B \overline C } \right) = 70\% = 0,7\], \[P\left( {\overline B C} \right) = 0\].

a) Sai . Ta có \(P\left( {B\left| A \right.} \right) = 0,5 + 0,3 = 0,8\).

b) Đúng . Ta có \(\overline C = \overline C AB \cup \overline C A\overline B \cup \overline C \overline A B \cup \overline C \overline A \overline B \).

\(P\left( {\overline C } \right) = P\left( {\overline C AB} \right) + P\left( {\overline C A\overline B } \right) + P\left( {\overline C \overline A B} \right) + P\left( {\overline C \overline A \overline B } \right)\)

\( = 0,7 \cdot 0,3 + 0,7 \cdot 0,2 + 0,3 \cdot 0,1 + 0,3 \cdot 0,7 = 0,59\) .

c) Đúng . \(P\left( C \right) = 1 - P\left( {\overline C } \right) = 0,41\).

\(P\left( {A\left| C \right.} \right) = \frac{{P\left( {AC} \right)}}{{P\left( C \right)}}\).

\(P\left( {AC} \right) = P\left( {AC\overline B } \right) + P\left( {ACB} \right) = 0,7 \cdot 0 + 0,7 \cdot 0,5 = 0,35\).

Suy ra \(P\left( {A\left| C \right.} \right) = \frac{{P\left( {AC} \right)}}{{P\left( C \right)}} = \frac{{0,35}}{{0,41}} \approx 0,854 > 0,85\).

d) Đúng . \[P\left( {\overline C \left| B \right.} \right) = \frac{{P\left( {\overline C B} \right)}}{{P\left( B \right)}}\].

\(P\left( {\overline C B} \right) = P\left( {\overline C BA} \right) + P\left( {\overline C B\overline A } \right) = 0,3 \cdot 0,7 + 0,1 \cdot 0,3 = 0,24\).

\(P\left( B \right) = P\left( {BA\overline C } \right) + P\left( {BAC} \right) + P\left( {B\overline A C} \right) + P\left( {B\overline A \overline C } \right)\)

\( = 0,7 \cdot 0,3 + 0,7 \cdot 0,5 + 0,3 \cdot 0,2 + 0,3 \cdot 0,1 = 0,65\).

Suy ra \[P\left( {\overline C \left| B \right.} \right) = \frac{{0,24}}{{0,65}} \approx 0,37\].