Sinh nhật bạn của An vào ngày \[01\] tháng 05. An muốn mua một món quà sinh nhật cho bạn nên quyết định bỏ ống heo \[100\] đồng vào ngày \[01\] tháng \[01\] năm \[2025\], sau đó cứ liên tục ngày sau hơn ngày trước \[100\] đồng. Hỏi đến ngày sinh nhật của bạn, An đã tích lũy được bao nhiêu tiền? (thời gian bỏ ống heo tính từ ngày \[01\] tháng \[01\] năm \[2025\] đến ngày \[30\] tháng \[4\] năm \[2025\]).

Ta có \({u_1} = 5 - 2 \cdot 1 = 3;\,\,{u_2} = 5 - 2 \cdot 2 = 1;\,\,{u_3} = 5 - 2 \cdot 3 = - 1;\,\,...........\)

Khi đó, công sai của cấp số cộng là \(d = {u_2} - {u_1} = 1 - 3 = - 2\). Chọn A.

a) Đúng. Ta có \(S \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {SHC} \right)\).

Lại có \(H \in AB \subset \left( {SAB} \right)\) và \(H \in \left( {SHC} \right)\) nên \(H \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {SHC} \right)\).

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SHC} \right)\) là \(SH\).

b) Sai. Vì \(\frac{{AM}}{{AD}} = \frac{{HN}}{{HC}} = \frac{1}{3} \Rightarrow MN{\rm{//}}AB{\rm{//}}CD\) và \(G \in \left( {GMN} \right) \cap \left( {SAB} \right)\) nên giao tuyến của mặt phẳng \(\left( {GMN} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) là đường thẳng đi qua \(G\) và song song với \(AB\) hoặc \(MN\).

c) Đúng. Vì \(\frac{{HG}}{{HS}} = \frac{{HN}}{{HC}} = \frac{1}{3} \Rightarrow GN{\rm{//}}SC \Rightarrow GN{\rm{//}}\left( {SCD} \right)\).

d) Sai.

Chọn mặt phẳng \(\left( {SHC} \right)\) chứa đường thẳng \(NG\).

Ta tìm được giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\,\,{\rm{v\`a }}\,\,\left( {SHC} \right)\) là \(SE\) như hình vẽ trên (với \(E\) là giao điểm của \(AD\) và \(HC\)). Gọi \(P\) là giao điểm của \(NG\) và \(SE\) thì \(P\) là giao điểm của đường thẳng \(NG\) và mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\).

Qua \(G\) kẻ \(GQ{\rm{//}}AB\,\,\left( {Q \in SA} \right)\) ta có: \(\frac{{PG}}{{PN}} = \frac{{PQ}}{{PM}} = \frac{{GQ}}{{MN}}\).

Lại có \(MN = \frac{2}{3}AB = \frac{4}{3}HA \Rightarrow HA = \frac{3}{4}MN\) \( \Rightarrow GQ = \frac{2}{3}HA = \frac{1}{2}MN \Rightarrow \frac{{GQ}}{{MN}} = \frac{1}{2}\).

Suy ra \(\frac{{PG}}{{PN}} = \frac{{PQ}}{{PM}} = \frac{{GQ}}{{MN}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{{PG}}{{GN}} = 1\).

Cách khác: Dễ dàng tính được \(\frac{{EN}}{{EC}} = \frac{{EP}}{{ES}} = \frac{2}{3}\); \(\frac{{NH}}{{HE}} = \frac{1}{3}\).

Áp dụng định lý Menelaus trong tam giác \(NEP\) ta có: \(\frac{{NH}}{{HE}} \cdot \frac{{ES}}{{SP}} \cdot \frac{{PG}}{{GN}} = 1 \Rightarrow \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot \frac{{PG}}{{GN}} = 1 \Rightarrow \frac{{PG}}{{GN}} = 1\).