Cho hình chóp \[S.ABCD\] có cạnh đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(H\) là trung điểm cạnh \(AB\),\(G\) trọng tâm tam giác \(SAB\). Lấy điểm \(M\) trên cạnh \(AD\), điểm \(N\) trên cạnh \(HC\) sao cho \(AD = 3AM,HC = 3HN\).    

a) Giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SHC} \right)\) là \(SH\).

b) Giao tuyến của mặt phẳng \(\left( {GMN} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) là đường thẳng đi qua \(G\) và song song với \(AD\).

c) Đường thẳng \(NG\) song song với mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\).

d) Gọi \(P\) là giao điểm của đường thẳng \(NG\) và mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\), khi đó tỉ lệ \(\frac{{PG}}{{GN}} = \frac{3}{4}\).

a) Đúng. Ta có \(S \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {SHC} \right)\).

Lại có \(H \in AB \subset \left( {SAB} \right)\) và \(H \in \left( {SHC} \right)\) nên \(H \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {SHC} \right)\).

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SHC} \right)\) là \(SH\).

b) Sai. Vì \(\frac{{AM}}{{AD}} = \frac{{HN}}{{HC}} = \frac{1}{3} \Rightarrow MN{\rm{//}}AB{\rm{//}}CD\) và \(G \in \left( {GMN} \right) \cap \left( {SAB} \right)\) nên giao tuyến của mặt phẳng \(\left( {GMN} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) là đường thẳng đi qua \(G\) và song song với \(AB\) hoặc \(MN\).

c) Đúng. Vì \(\frac{{HG}}{{HS}} = \frac{{HN}}{{HC}} = \frac{1}{3} \Rightarrow GN{\rm{//}}SC \Rightarrow GN{\rm{//}}\left( {SCD} \right)\).

d) Sai.

Chọn mặt phẳng \(\left( {SHC} \right)\) chứa đường thẳng \(NG\).

Ta tìm được giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\,\,{\rm{v\`a }}\,\,\left( {SHC} \right)\) là \(SE\) như hình vẽ trên (với \(E\) là giao điểm của \(AD\) và \(HC\)). Gọi \(P\) là giao điểm của \(NG\) và \(SE\) thì \(P\) là giao điểm của đường thẳng \(NG\) và mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\).

Qua \(G\) kẻ \(GQ{\rm{//}}AB\,\,\left( {Q \in SA} \right)\) ta có: \(\frac{{PG}}{{PN}} = \frac{{PQ}}{{PM}} = \frac{{GQ}}{{MN}}\).

Lại có \(MN = \frac{2}{3}AB = \frac{4}{3}HA \Rightarrow HA = \frac{3}{4}MN\) \( \Rightarrow GQ = \frac{2}{3}HA = \frac{1}{2}MN \Rightarrow \frac{{GQ}}{{MN}} = \frac{1}{2}\).

Suy ra \(\frac{{PG}}{{PN}} = \frac{{PQ}}{{PM}} = \frac{{GQ}}{{MN}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{{PG}}{{GN}} = 1\).

Cách khác: Dễ dàng tính được \(\frac{{EN}}{{EC}} = \frac{{EP}}{{ES}} = \frac{2}{3}\); \(\frac{{NH}}{{HE}} = \frac{1}{3}\).

Áp dụng định lý Menelaus trong tam giác \(NEP\) ta có: \(\frac{{NH}}{{HE}} \cdot \frac{{ES}}{{SP}} \cdot \frac{{PG}}{{GN}} = 1 \Rightarrow \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot \frac{{PG}}{{GN}} = 1 \Rightarrow \frac{{PG}}{{GN}} = 1\).