Một vật dao động xung quanh vị trí cân bằng theo phương trình \[x = 1,5\cos \left( {\frac{{\pi t}}{4}} \right)\] trong đó \[t\] là thời gian được tính bằng giây và quãng đường, \[h = \left| x \right|\] được tính bằng mét là khoảng cách theo phương ngang của chất điểm đối với vị trí cân bằng. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Vật ở xa vị trí cân bằng nhất nghĩa là \[h = 1,5{\rm{ m}}\].

b) Trong 10 giây đầu tiên, có hai thời điểm vật ở xa vị trí cân bằng nhất.

c) Khi vật ở vị trí cân bằng thì \[\cos \left( {\frac{{\pi t}}{4}} \right) = 0\].

d) Trong khoảng từ \[0\] đến \[20\] giây thì vật qua vị trí cân bằng 4 lần.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 14

Mực nước của con kênh cao nhất khi độ sâu của mực nước trong kênh lớn nhất.

Ta có: \[ - 1 \le \cos \left( {\frac{{\pi t}}{8} + \frac{\pi }{4}} \right) \le 1\] \[ \Leftrightarrow 9 \le 3\cos \left( {\frac{{\pi t}}{8} + \frac{\pi }{4}} \right) + 12 \le 15\].

Do đó mực nước của con kênh cao nhất bằng \[15{\rm{ }}\left( m \right)\] khi \[\cos \left( {\frac{{\pi t}}{8} + \frac{\pi }{4}} \right) = 1\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{\pi t}}{8} + \frac{\pi }{4} = k2\pi {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow t = - 2 + 16k\], \[k \in \mathbb{Z}\].

Vì trong một ngày có 24 giờ nên \[0 \le - 2 + 16k \le 24 \Leftrightarrow \frac{1}{8} \le k \le \frac{{26}}{{16}}\].

Vì \[k \in \mathbb{Z}\] nên \[k = 1\] do đó \[t = 14\].

Vậy mực nước của con kênh cao nhất khi \[t = 14\] giờ.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \[f\left( x \right) = \left( {2\sin x - 1} \right)\left( {\cos x + 1} \right)\]

\[ \Leftrightarrow f\left( x \right) = 2\sin x\cos x + 2\sin x - \cos x - 1\]

\[ \Leftrightarrow f\left( x \right) = 2\sin 2x + 2\sin x - \cos x - 1\].

Tập xác định của hàm số: \[D = \mathbb{R}.\]

Lấy \[x \in D\] và \[ - x \in D\], ta có:

\[2\sin \left( { - 2x} \right) + 2\sin \left( { - x} \right) - \cos \left( { - x} \right) - 1 = - 2\sin 2x - 2\sin x - \cos x - 1\].

Suy ra \[f\left( x \right) \ne f\left( { - x} \right)\].

Vậy hàm số đã cho không chẵn, không lẻ.

b) Ta có: \[f\left( x \right) = 0\] \[ \Leftrightarrow \left( {2\sin x - 1} \right)\left( {\cos x + 1} \right) = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2\sin x - 1 = 0\\\cos x + 1 = 0\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = \frac{1}{2}\\\cos x = - 1\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \\x = \pi + k2\pi \end{array} \right.,{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].

Nhận thấy, với \[k = - 1\] thì phương trình có các nghiệm âm là:

\[x = \frac{{ - 11\pi }}{6};x = \frac{{ - 7\pi }}{6};x = - \pi \].

c) Vậy nghiệm âm lớn nhất của phương trình \[f\left( x \right) = 0\] là \[x = - \pi \].

Xét trên nửa khoảng \[\left[ { - 2\pi ;3\pi } \right)\], ta thấy:

\[ - 2\pi \le \frac{\pi }{6} + k2\pi < 3\pi \] \[ \Leftrightarrow \frac{{ - 13\pi }}{6} \le k2\pi < \frac{{17\pi }}{6}\] \[ \Leftrightarrow \frac{{ - 13}}{{12}} \le k < \frac{{17}}{{12}}\].

Mà \[k \in \mathbb{Z}\] nên \[k \in \left\{ { - 1;0;1} \right\}\].

Do đó \[x \in \left\{ { - \frac{{11\pi }}{6};\frac{\pi }{6};\frac{{13\pi }}{6}} \right\}\] (1).

Tương tự \[ - 2\pi  \le \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi < 3\pi \] \[ \Leftrightarrow - \frac{{17}}{{12}} \le k < \frac{{13}}{{12}}\].

Mà \[k \in \mathbb{Z}\] nên \[k \in \left\{ { - 1;0;1} \right\}\].

Do đó \[x \in \left\{ { - \frac{{7\pi }}{6};\frac{{5\pi }}{6};\frac{{17\pi }}{6}} \right\}\] (2).

Tương tự, có \[ - 2\pi \le \pi + k2\pi < 3\pi \] \[ \Leftrightarrow - \frac{3}{2} \le k < 1\].

Mà \[k \in \mathbb{Z}\] nên \[k \in \left\{ { - 1;0} \right\}\].

Do đó \[x \in \left\{ { - \pi ;\pi } \right\}\] (3).

d) Từ (1), (2), (3) ta tính được tổng các nghiệm bằng \[3\pi \].