Một vật dao động xung quanh vị trí cân bằng theo phương trình \[x = 1,5\cos \left( {\frac{{\pi t}}{4}} \right)\] trong đó \[t\] là thời gian được tính bằng giây và quãng đường, \[h = \left| x \right|\] được tính bằng mét là khoảng cách theo phương ngang của chất điểm đối với vị trí cân bằng. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Vật ở xa vị trí cân bằng nhất nghĩa là \[h = 1,5{\rm{ m}}\].

b) Trong 10 giây đầu tiên, có hai thời điểm vật ở xa vị trí cân bằng nhất.

c) Khi vật ở vị trí cân bằng thì \[\cos \left( {\frac{{\pi t}}{4}} \right) = 0\].

d) Trong khoảng từ \[0\] đến \[20\] giây thì vật qua vị trí cân bằng 4 lần.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 14

Mực nước của con kênh cao nhất khi độ sâu của mực nước trong kênh lớn nhất.

Ta có: \[ - 1 \le \cos \left( {\frac{{\pi t}}{8} + \frac{\pi }{4}} \right) \le 1\] \[ \Leftrightarrow 9 \le 3\cos \left( {\frac{{\pi t}}{8} + \frac{\pi }{4}} \right) + 12 \le 15\].

Do đó mực nước của con kênh cao nhất bằng \[15{\rm{ }}\left( m \right)\] khi \[\cos \left( {\frac{{\pi t}}{8} + \frac{\pi }{4}} \right) = 1\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{\pi t}}{8} + \frac{\pi }{4} = k2\pi {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow t = - 2 + 16k\], \[k \in \mathbb{Z}\].

Vì trong một ngày có 24 giờ nên \[0 \le - 2 + 16k \le 24 \Leftrightarrow \frac{1}{8} \le k \le \frac{{26}}{{16}}\].

Vì \[k \in \mathbb{Z}\] nên \[k = 1\] do đó \[t = 14\].

Vậy mực nước của con kênh cao nhất khi \[t = 14\] giờ.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 3375

Gọi \[{u_1};{u_2};{u_3}\] theo thứ tự là ba số cần tìm lập thành một cấp số nhân.

Vì tổng của \[{u_1};{u_2};{u_3}\] là \[65\], do đó \[{u_1} + {u_2} + {u_3} = 65\].

Nếu bớt một đơn vị ở số hạng thứ nhất và \[19\] đơn vị ở số hạng thứ ba ta được một cấp số cộng nên ta có phương trình sau:

\[{u_1} - 1 + {u_3} - 19 = 2{u_2}\] hay \[{u_1} - 2{u_2} + {u_3} = 20\].

Từ đây ta có hệ phương trình sau:

\[\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_2} + {u_3} = 65\\{u_1} - 2{u_2} + {u_3} = 20\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_2} + {u_3} = 65\\3{u_2} = 45\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_2} + {u_3} = 65\\{u_2} = 15\end{array} \right.\].

Lúc này, suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_3} = 50\\{u_1}.q = 15\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}\left( {1 + {q^2}} \right) = 50\\{u_1}.q = 15\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{1 + {q^2}}}{q} = \frac{{10}}{3}\\{u_1}.q = 15\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}q = 3\\q = \frac{1}{3}\end{array} \right.\\{u_1}.q = 15\end{array} \right.\].

Vì \[{u_1};{u_2};{u_3}\] theo thứ tự là một cấp số nhân tăng nên \[q = 3\] thỏa mãn.

Khi đó, \[{u_1} = 5;{u_2} = 15;{u_3} = 45.\]

Tích ba số đó là: \[5.15.45 = 3375\].