Cho cấp số cộng \[\left( {{u_n}} \right)\] có công sai \[d < 0\] thỏa mãn \[\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_7} = 26\\u_2^2 + u_6^2 = 466\end{array} \right.\]. Khi đó:

a) Số hạng \[{u_1} = 25.\]

b) Công sai \[d = - 3.\]

c) Số hạng \[{u_{10}} = - 11.\]

d) Số hạng \[{u_{2024}} = - 8067.\]

Hướng dẫn giải

Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_7} = 26\\u_2^2 + u_6^2 = 466\end{array} \right.\]

      \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_1} + 6d = 26\\{\left( {{u_1} + d} \right)^2} + {\left( {{u_1} + 5d} \right)^2} = 466\end{array} \right.\]

      \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{u_1} + 6d = 26\\2u_1^2 + 12{u_1}d + 26{d^2} = 466\end{array} \right.\]

      \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 13 - 3d\\u_1^2 + 6{u_1}d + 13{d^2} = 233\end{array} \right.\]

Thay \[{u_1} = 13 - 3d\] vào phương trình \[u_1^2 + 6{u_1}d + 13{d^2} = 233\], ta được:

\[{\left( {13 - 3d} \right)^2} + 6\left( {13 - 3d} \right)d + 13{d^2} = 233\]

\[ \Leftrightarrow 169 - 78d + 9{d^2} + 78d - 18{d^2} + 13{d^2} - 233 = 0\]

\[ \Leftrightarrow 4{d^2} - 64 = 0\]\[ \Leftrightarrow {d^2} = 16\]

Do \[d < 0\] nên \[d = - 4\].

Suy ra \[{u_1} = 13 - 3 \cdot \left( { - 4} \right) = 13 + 12 = 25\].

Vậy cấp số cộng \[\left( {{u_n}} \right)\] có số hạng \[{u_1} = 25\] và công sai \[d = - 4\].

Ta có: \[{u_{10}} = {u_1} + 9d = 25 + 9.\left( { - 4} \right) = - 11.\]

           \[{u_{2024}} = {u_1} + 2023d = 25 + 2023.\left( { - 4} \right) = - 8067.\]