Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(M,N,P\) theo thứ tự là trung điểm của các cạnh \(SB,BC\) và \(SD\).

a) Đường thẳng \(SA\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SAC} \right)\).

b) Hai đường thẳng \(MP\) và \(SC\) cắt nhau.

c) Giao tuyến của mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\)và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là đường thẳng đi qua \(N\) và song song với đường thẳng \(BD\).

d) Biết rằng đường thẳng \(SA\) cắt mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) tại điểm \(K\). Khi đó \(\frac{{SK}}{{SA}} = \frac{1}{4}\).

a) Ta có \(S\) và \(A\) là hai điểm chung của \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SAC} \right)\) nên đường thẳng \(SA\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SAC} \right)\).

b) Ta có \(C \notin \left( {SMP} \right)\) nên hai đường thẳng \(SC\)và \(MP\)không cùng nằm trong một mặt phẳng. Suy ra hai đường thẳng \(SC\) và \(MP\) chéo nhau.

c) Ta có N là điểm chung của \(\left( {MNP} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\).

Mặt khác \(MP \subset \left( {MNP} \right),BD \subset \left( {ABCD} \right)\) và \(MP//BD\) (do \(MP\)là đường trung bình của tam giác \(SBD\)).

Suy ra giao tuyến của \(\left( {MNP} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) là đường thẳng đi qua N đồng thời song song với \(BD,MP\) cắt \(CD\) tại \(Q\).

d) Gọi \(I\) là giao điểm \(AC\) và \(NQ\).

Từ giả thiết ta có ba mặt phẳng \(\left( {MNP} \right),\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {SAC} \right)\) cắt nhau theo ba giao tuyến là \(MN,SC\) và \(IK\) trong đó \(MN//SC\) (do MN là đường trung bình của \(\Delta SBC\)).

Suy ra \(MN,SC\) và \(IK\) đôi một song song.

Xét \(\Delta SAC\) có \(IK//SC\) nên \(\frac{{SK}}{{SA}} = \frac{{CI}}{{CA}} = \frac{1}{4}\).

Đáp án: a) Đúng;  b) Sai;   c) Đúng;   d) Đúng.