Hai người A và B đứng cùng bờ sông nhìn ra một cồn C nổi giữa sông. Người A nhìn ra cồn với một góc \(43^\circ \) so với bờ sông, người B nhìn ra cồn với một góc \(28^\circ \) so với bờ sông. Hai người đứng cách nhau \(250{\rm{ m}}\) như hình minh họa dưới đây. (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

    a) \(CH = AH \cdot \tan 43^\circ .\)

    b) \(BH = \frac{{CH}}{{\tan 28^\circ }}.\)

    c) \(AB = \left( {\tan 43^\circ + \tan 28^\circ } \right)CH\).

    d) Cồn cách bờ sông hai người đứng một khoảng lớn hơn \(85{\rm{ m}}{\rm{.}}\)

Hướng dẫn giải

a) Gọi \(I\) là trung điểm của \(AM.\) Khi đó \(AI = MI = \frac{1}{2}AM.\)

Xét \(\Delta AHM\) vuông tại \(H\) có \(HI\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(AM\) nên \(HI = \frac{1}{2}AM.\)

Xét \(\Delta AKM\) vuông tại \(K\) có \(KI\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(AM\) nên \(KI = \frac{1}{2}AM.\)

Do đó \(AI = HI = MI = KI = \frac{1}{2}AM\) nên bốn điểm \(A,H,M,K\) cùng thuộc đường tròn tâm \(I,\) đường kính \(AM\).

Hay \(AM\) là đường kính của đường tròn \(\left( I \right)\) đi qua ba điểm \(A,\,\,H,\,\,K.\)

b) Gọi \(N\) là giao điểm của \(HI\) và đường tròn tâm \(I\) đường kính \(AM.\)

Suy ra \(\widehat {HKN} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) hay \(\Delta HKN\) vuông tại \(K\)

Ta có \(HK = HN.\sin \widehat {HNK}\)

Mà \(HN = AM\) (cùng là đường kính của đường tròn tâm \(I\))

Và \(\widehat {HNK} = \widehat {HAK}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(HK\) của đường tròn tâm \(I\))

Suy ra \[HK = AM \cdot \sin \widehat {HAK} = AM \cdot \sin \widehat {BAC}.\]

c) Ta có \(\Delta ABC\) cố định nên \(\sin \widehat {BAC}\) không đổi

Do đó từ \(HK = AM.\sin \widehat {BAC}\), để \(HK\) dài nhất thì \(AM\) dài nhất mà \(AM\) là dây của đường tròn \(\left( O \right)\)

Nên \(AM\) dài nhất khi \(AM\) là đường kính của đường tròn \(\left( O \right)\)

Do đó \(M\) đối xứng với \(A\) qua \(\left( O \right)\).

Hướng dẫn giải

⦁ Gọi kích thước hình chữ nhật mà tể tướng sẽ căng là \[x\] và \[y\] (\[0 < x < 150;\,\,0 < y < 150\]).

Khi đó, ta có chu vi của mảnh đất hình chữ nhật đó là \[300\] mét, suy ra \[x + y = \frac{{300}}{2} = 150{\rm{ m}}{\rm{.}}\]

Diện tích của mảnh đất là \[S = xy{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\].

⦁ Chứng minh bổ đề: \[\frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4} \ge xy\] với mọi \(x > 0,\,\,y > 0.\)

Thật vậy, với mọi \(x > 0,\,\,y > 0,\) ta có:

 \[{\left( {x - y} \right)^2} \ge 0\]

    \[{x^2} - 2xy + {y^2} \ge 0\]

    \[{x^2} + 2xy + {y^2} - 4xy \ge 0\]

    \[{\left( {x + y} \right)^2} - 4xy \ge 0\]

   \[\frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4} \ge xy\].

Đẳng thức xảy ra khi \[x = y.\]

⦁ Áp dụng bất đẳng thức trên, ta có:

\[S = xy \le \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4}\]

Suy ra \[S \le \frac{{{{150}^2}}}{4} = 5\,\,625\].

Dấu bằng xảy ra khi \[x = y = \frac{{150}}{2} = 75\] (thỏa mãn).

Khi đó, diện tích lớn nhất \[S = 5\,\,625{\rm{ }}{{\rm{m}}^2}\] khi \[x = y = 75{\rm{ m}}{\rm{.}}\]

Vậy tể tưởng đó cần căng sợi dây bao quanh mảnh đất hình hình vuông có cạnh \[75{\rm{ m}}\] để mảnh đất nhận được có diện tích lớn nhất.