Hai người A và B đứng cùng bờ sông nhìn ra một cồn C nổi giữa sông. Người A nhìn ra cồn với một góc \(43^\circ \) so với bờ sông, người B nhìn ra cồn với một góc \(28^\circ \) so với bờ sông. Hai người đứng cách nhau \(250{\rm{ m}}\) như hình minh họa dưới đây. (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

    a) \(CH = AH \cdot \tan 43^\circ .\)

    b) \(BH = \frac{{CH}}{{\tan 28^\circ }}.\)

    c) \(AB = \left( {\tan 43^\circ + \tan 28^\circ } \right)CH\).

    d) Cồn cách bờ sông hai người đứng một khoảng lớn hơn \(85{\rm{ m}}{\rm{.}}\)

Tính giá trị của biểu thức \(A = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{2\left( {1 - \sqrt x } \right)}}\) với \(x = \frac{1}{{25}}.\) (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân)

Phần 2. (2,0 điểm) Câu trắc nghiệm đúng sai

Trong câu 13, 14, hãy chọn đúng hoặc sai cho mỗi ý a), b), c), d).

Lớp 9A và lớp 9B có tổng cộng \(86\) học sinh. Trong đợt thu nhặt giấy báo cũ thực hiện kế hoạch nhỏ, mỗi lớp có 3 bạn góp được \(5{\rm{ kg}}\), các bạn còn lại mỗi bạn góp \({\rm{2 kg}}{\rm{.}}\) Biết rằng lớp 9B góp nhiều hơn lớp 9A là \({\rm{8 kg}}\) giấy báo cũ. Gọi \(x\) là số học sinh của lớp 9A, \(y\) là số học sinh của lớp 9B \(\left( {x,{\rm{ }}y \in {\mathbb{N}^ * }} \right)\).

    a) \(x + y = 86.\)

    b) Phương trình biểu diễn mối liên hệ khối lượng giấy báo cũ giữa hai lớp là \(2x - 2y = 8.\)

    c) Hệ phương trình biểu diễn bài toán là \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 86\\y - x = 4\end{array} \right.\).

    d) Lớp 9A có \(41\) học sinh, lớp 9B có \(45\) học sinh.

Tìm nghiệm nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình: \(3x - \left( {6 + 2x} \right) \le 3 \cdot \left( {x + 4} \right)\).

B. TỰ LUẬN (3,0 điểm)

 (1,0 điểm) Cho biểu thức \(A = \frac{3}{{\sqrt a + 3}}:\left( {\frac{{\sqrt a - 2}}{{\sqrt a + 3}} + \frac{{\sqrt a - 3}}{{2 - \sqrt a }} - \frac{{9 - a}}{{a + \sqrt a - 6}}} \right)\) với \(a \ge 0,{\rm{ }}a \ne 4\) và \(a \ne 9.\)

    a) Chứng minh rằng \(A = \frac{3}{{\sqrt x - 2}}\).

    b) Tìm \(a\) để \(A + \left| A \right| = 0.\)

(1,5 điểm) Cho \(\Delta ABC\) nhọn có ba đỉnh nằm trên đường tròn \(\left( O \right)\). Điểm \(M\) di động trên cung nhỏ \(BC\). Vẽ \(MH\) vuông góc với \(AB\) ở \(H\), \(MK\) vuông góc với \(AC\) ở \(K\).

a) Chứng minh rằng \(AM\) là đường kính của đường tròn đi qua ba điểm \(A,\,\,H,\,\,K.\)

b) Chứng minh rằng \(HK = AM.\sin \widehat {BAC}\)

c) Xác định vị trí của điểm \(M\) trên cung nhỏ \(BC\) để \(HK\)dài nhất.