Điều kiện để phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) là phương trình mặt cầu?

Trong không gian Oxyz, một thiết bị phát sóng đặt tại vị trí A(3; 0; 0). Vùng phủ sóng của thiết bị có bán kính bằng 5. Hỏi vị trí của điểm nào sau đây không thuộc vùng phủ sóng của thiết bị nói trên?

Một công ty sản xuất đèn LED trang trí cho các lễ hội. Một trong những sản phẩm mới là một đèn LED hình cầu với các dây đèn nằm đều bên trong. Để đảm bảo ánh sáng tỏa ra đều từ mọi hướng, tâm của đèn LED cần được đặt đúng tại ví trí của tâm hình cầu. Giả sử một quả cầu đèn LED có phương trình mặt cầu là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 49\). Một bóng đèn nhỏ nằm tại điểm (4; 7; −2). Tính khoảng cách từ bóng đèn nhỏ đến tâm quả cầu đèn LED.

Một khu vực đã được thiết lập một hệ tọa độ Oxyz (đơn vị trên các trục là mét). Một flycam đang ở vị trí I phát sóng wifi bao phủ một vùng không gian bên trong mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 20} \right)^2} + {\left( {y - 30} \right)^2} + {\left( {z - 10} \right)^2} = 400\). Một người đang sử dụng máy tính tại điểm M nằm trên điểm giao của mặt cầu (S) và mặt đất (P): z = 0. Biết IJ của đoạn vuông góc từ I đến (P). Tính độ dài đoạn JM (làm tròn kết quả đến hàng phần mười của mét).

Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình của mặt cầu tâm I(−1; 2; −3) và đi qua điểm M(0; 3; 2).

Trong không gian Oxyz (đơn vị các trục tọa độ là mét), một quả bóng hình cầu có phương trình bề mặt \(\left( S \right):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {x - 2} \right)^2} = \frac{1}{{625}}\) bị rơi xuống bể bơi. Do chất liệu đặc biệt nên phân nửa quả bóng nằm bên dưới mặt nước, phân nửa còn lại ở trên. Tính độ cao của mực nước biết đáy bể thuộc mặt phẳng (Oxy).

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 6x + 4y - 12 = 0\).

(a) Mặt cầu (S) có tâm I(3; −2; 0) và bán kính R = 8.

(b) Điểm K(1; −2; 0) thuộc mặt cầu (S).

(c) Đường kính của mặt cầu bằng 10.

(d) Mặt phẳng (P): \(3x - 4y + 5z - 17 + 20\sqrt 2 = 0\) cắt (S) theo một đường tròn có bán kính \(r = 3\).

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu.