Cho hình chóp tam giác đều \(S.MNP\) có \(O\) cách đều ba đỉnh của tam giác \(MNP.\) Gọi \(K\) là giao điểm của \(MO\) và \(NP.\) Biết rằng \(NM = 5\;{\rm{cm}}\) và độ dài trung đoạn của hình chóp \(S.MNP\) bằng \(8\;\,{\rm{cm}}{\rm{.}}\) Khi đó:

(a) \(O\) là trọng tâm của tam giác \(MNP.\)

(b) \(K\) là trung điểm của \(NP.\)

(c) \(SK = 8\,\;{\rm{cm}}{\rm{.}}\)

(d) Diện tích tam giác \(SNP\) bằng \(40\;\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}.\)

a) Đúng.

Vì \(S.MNP\) là hình chóp tam giác đều nên tam giác \(MNP\) đều.

Mà \(O\) cách đều ba đỉnh của tam giác \(MNP\) nên \(O\) là trọng tâm của tam giác \(MNP.\)

b) Đúng.

Vì \(O\) là trọng tâm của tam giác \(MNP\) và \(K\) là giao điểm của \(MO\) và \(NP\) nên \(KM\) là đường trung tuyến trong tam giác \(MNP.\) Vậy \(K\) là trung điểm của \(NP.\)

c) Đúng.

Vì \(S.MNP\) là hình chóp tam giác đều nên tam giác \(SNP\) cân tại \(S.\) Do đó, \(SK\) là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác \(SNP.\)

Do đó, \(SK\) là trung đoạn của hình chóp \(S.MNP.\) Vậy \(SK = 8\;{\rm{cm}}{\rm{.}}\)

d) Sai.

Vì tam giác \(MNP\) đều nên \(NP = NM = 5\;{\rm{cm}}.\)

Diện tích tam giác \(SNP\) là: \(\frac{1}{2} \cdot SK \cdot NP = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 = 20\,\;\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right).\) Vậy diện tích \(\Delta SNP\) bằng \(20\;\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}.\)