Cho tứ giác\(ABCD\) biết \(A\left( {0;\, - 2;\,1} \right),\,\,B\left( {1;\,3;\, - 2} \right),\,\,C\left( {1;\,0;\,0} \right)\). Tìm tọa độ điểm \(D\) để tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành.

a) Gọi tọa độ điểm \(A'\) là (x;y;z) \[ \Rightarrow \overrightarrow {A'C'} = \left( { - 1 - x;2 - y;1 - z} \right)\].

Khi đó \[\overrightarrow {AC} = \left( { - 2;2;0} \right)\]. Vì \(ACC'A'\)  là hình bình hành nên \[\overrightarrow {A'C'} = \overrightarrow {AC} \]

Suy ra\[\left\{ \begin{array}{l} - 1 - x = - 2\\2 - y = 2\\1 - z = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 0\\z = 1\end{array} \right. \Rightarrow A'\left( {1\,;\,0\,;\,1} \right)\]. Làm tương tự ta có: \[B'\left( {0\,;\,4\,;\,2} \right)\].

b) Gọi $B\left(x;y;z\right)$. Có $\overrightarrow{C{C}^{\text{'}}}=\overrightarrow{B{B}^{\text{'}}}$ $\iff \left\{\begin{array}{l}-x=-1\\ 4-y=-1\\ 2-z=1\end{array}\right.$ $\iff \left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=5\\ z=1\end{array}\right.$ Suy ra \[B\left( {1\,;\,5\,;\,1} \right)\].

Gọi \(D\left( {x;y;z} \right)\). Có $\overrightarrow{D{D}^{\text{'}}}=\overrightarrow{C{C}^{\text{'}}}$ $\iff \left\{\begin{array}{l}-x=-1\\ -2-y=-1\\ -z=1\end{array}\right.$ $\iff \left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=-1\\ z=-1\end{array}\right.$.Suy ra \[D\left( {1\,;\, - 1\,; - \,1} \right)\].

c) \[\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;4;1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} = - \overrightarrow i + 4\overrightarrow j + \overrightarrow k \].

d) \[\overrightarrow {B'D} = \left( {1; - 5; - 3} \right) \Rightarrow \overrightarrow {B'D} = \overrightarrow i - 5\overrightarrow j - 3\overrightarrow k \].

Đáp án: a) Sai;   b) Đúng;   c) Sai;   d) Đúng.

a) Ta có \(\vec a = (2;2;0) \Rightarrow \vec a = 2\vec i + 2\overrightarrow j \).

b) Ta có \(\vec b = 2\vec j + 2\vec k \Rightarrow \vec b = (0;2;2)\).

c) Ta có  \(\overrightarrow {OA} = \vec a\) thì toạ độ véc tơ \(\vec a\) cũng chính là toạ độ \(A\)\( \Rightarrow A\left( {2;2;0} \right)\).

Tương tự \(B(0;2;2)\). Suy ra \(\overrightarrow {AB} = ( - 2;0;2)\).

d) Có \(\cos \widehat {AOB} = \frac{{\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} }}{{\left| {\overrightarrow {OA} } \right|.\left| {\overrightarrow {OB} } \right|}} = \frac{{2.0 + 2.2 + 0.2}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2}} .\sqrt {{2^2} + {2^2}} }} = \frac{1}{2}\)\( \Rightarrow \widehat {AOB} = 60^\circ \).

Đáp án: a) Sai;   b) Đúng;   c) Sai;   d) Sai.