Cho hai tập hợp: \(A = [m - 3;m + 2],\,\,B = ( - 3;5)\) với \(m \in \mathbb{R}\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) để \(A \subset B\)?

Ta có \(\widehat {ATB} = \widehat {TBN} - \widehat {TAN} = 12,2^\circ \).

Áp dụng định lí sin cho tam giác \(TAB\): \(\frac{{TB}}{{\sin \widehat {TAB}}} = \frac{{AB}}{{\sin \widehat {ATB}}} \Rightarrow TB = \frac{{AB.\sin \widehat {TAB}}}{{\sin \widehat {ATB}}}\).

Xét tam giác vuông \(TBN\) ta có:

\(TN = TB.\sin \widehat {TBN} = \frac{{AB.\sin \widehat {TAB}.\sin \widehat {TBN}}}{{\sin \widehat {ATB}}} = \frac{{1536.\sin 27,4^\circ .\sin 39,6^\circ }}{{\sin 12,2^\circ }} \approx 2132,14\).

Vậy chiều cao ngọn núi xấp xỉ \(2132,14\) m.

Gọi \(x\) và \(y\) lần lượt là số radio kiểu một và số radio kiểu hai mà công ty này sản xuất trong một ngày \(\left( {x,y \in {\mathbb{N}^*}} \right)\).

Số tiền lãi mà công ty này thu về hàng ngày là \(P = 250000x + 180000y\) đồng.

Ta có hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{12x + 9y \le 900}\\{0 \le x \le 45}\\{0 \le y \le 80.}\end{array}} \right.\)

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = 250000x + 180000y\) trên miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{12x + 9y \le 900}\\{0 \le x \le 45}\\{0 \le y \le 80.}\end{array}} \right.\)

Miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{12x + 9y \le 900}\\{0 \le x \le 45}\\{0 \le y \le 80}\end{array}} \right.\) là miền ngũ giác \(OABCD\) trong đó \(O\left( {0;0} \right)\), \(A\left( {45;0} \right)\), \(B\left( {45;40} \right)\), \(C\left( {15;80} \right)\), \(D\left( {0;80} \right)\).

Tại \(O\left( {0;0} \right)\), ta có \(P = 250000 \cdot 0 + 180000 \cdot 0 = 0\).

Tại \(A\left( {45;0} \right)\) ta có \(P = 250000 \cdot 45 + 180000 \cdot 0 = 11250000\).

Tại \(B\left( {45;40} \right)\) ta có \(P = 250000 \cdot 45 + 180000 \cdot 40 = 18450000\).

Tại \(C\left( {15;80} \right)\) ta có \(P = 250000 \cdot 15 + 180000 \cdot 80 = 18150000\).

Tại \(D\left( {0;80} \right)\) ta có \(P = 250000 \cdot 0 + 180000 \cdot 80 = 14400000\).

Ta thấy biểu thức \(P = 250000x + 180000y\) đạt giá trị lớn nhất khi \({x_0} = 45\), \({y_0} = 40\).

Vậy \(T = {x_0} + 2{y_0} = 125\).