Từ vị trí \[A\] người ta quan sát một cây cao.

Biết \[AH = 4{\rm{m}}\], \[HB = 20{\rm{m}}\], \[\widehat {BAC} = {45^^\circ }\]. Khi đó chiều cao của cây (làm tròn đến hàng phần mười) bằng

Vì tam giác \[AHB\] vuông tại \[H\] nên ta có \[AB = \sqrt {A{H^2} + H{B^2}}  = 4\sqrt {26} \].

Kẻ \[AM{\rm{// }}HB,\] \[M \in BC\]. Khi đó \[AM = 20{\rm{m}}\], \[BM = 4{\rm{m}}\] và tam giác \[ABM\] vuông tại \[M\]. Suy ra \[\sin \widehat {ABM} = \frac{{AM}}{{AB}} = \frac{5}{{\sqrt {26} }}\].

Áp dụng định lý sin cho tam giác \[ABC\], ta có

\[\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{AC}}{{\sin B}}\].

Đặt \[MC = x\], khi đó ta được

\[\frac{{4 + x}}{{\sin {{45}^^\circ }}} = \frac{{\sqrt {{{20}^2} + {x^2}} }}{{\frac{{AM}}{{AB}}}} \Leftrightarrow \sqrt 2 \left( {4 + x} \right) = \frac{{\sqrt {26\left( {400 + {x^2}} \right)} }}{5}\]

\[ \Leftrightarrow 24{x^2} + 400x - 9600 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  - 30}\\{x = \frac{{40}}{3}}\end{array}} \right.\]. Suy ra \[MC = x = \frac{{40}}{3}.\]

Vậy chiều cao của cây bằng \[BC = x + 4 = \frac{{52}}{3} \Rightarrow BC \approx 17,3.\]

Cách 2 (Tính gần đúng chiều cao của cây)

Vì tam giác \[AHB\] vuông tại \[H\] nên ta có \[AB = \sqrt {A{H^2} + H{B^2}}  = 4\sqrt {26} \].

Ta có \[\sin \widehat {BAH} = \frac{{BH}}{{AB}} = \frac{5}{{\sqrt {26} }} \Rightarrow \widehat {BAH} \simeq {78,69^^\circ } \Rightarrow \widehat {ABC} \simeq {78,69^^\circ } \Rightarrow \widehat {ACB} \simeq {56,31^^\circ }\].

Áp dụng định lý sin cho tam giác \[ABC\], ta có

\[\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{AB}}{{\sin C}}\].

Suy ra \[BC \simeq 17,3\].