Giả sử một vật dao động điều hòa xung quanh vị trí cân bằng theo phương trình \(x = 2\cos \left( {5t - \frac{\pi }{6}} \right)\), ở đây, thời gian \(t\) tính bằng giây và quãng đường \(x\) tính bằng centimét. Hãy cho biết trong khoảng thời gian từ \(0\) đến \(6\) giây, vật đi qua vị trí cân bằng bao nhiêu lần?

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\)với \({u_n} = 4n\)có \({u_{n + 1}} = 4\left( {n + 1} \right) = 4n + 4\)\( \Rightarrow {u_{n + 1}} = {u_n} + 4\), \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\)\( \Rightarrow \)dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\)là cấp số cộng với công sai \(d = 4\).

Dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\)với \({v_n} = 2{n^2} + 1\)có \({v_1} = 3\), \({v_2} = 9\), \({v_3} = 19\)nên dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\)không là cấp số cộng.

Dãy số \(\left( {{w_n}} \right)\)với \({w_n} = \frac{n}{3} - 7\)có \({w_{n + 1}} = \frac{{n + 1}}{3} - 7\)\( = \frac{n}{3} - 7 + \frac{1}{3}\)\( \Rightarrow {u_{n + 1}} = {u_n} + \frac{1}{3}\), \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\)\( \Rightarrow \)dãy số \(\left( {{w_n}} \right)\)là cấp số cộng với công sai \(d = \frac{1}{3}\).

Dãy số \(\left( {{t_n}} \right)\)với \({t_n} = \sqrt[{}]{5} - 5n\)có \({t_{n + 1}} = \sqrt[{}]{5} - 5n - 5\)\( \Rightarrow {u_{n + 1}} = {u_n} - 5\), \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\)\( \Rightarrow \)dãy số \(\left( {{w_n}} \right)\)là cấp số cộng với công sai \(d =  - 5\).

Vậy có \(3\)dãy số là cấp số cộng.