Khi nuôi tôm thẻ trong ao, một kỹ sư thủy sản đã thống kê được nếu mỗi mét vuông mặt ao thả \(x\) con tôm giống thì cuối mỗi vụ con tôm có cân nặng trung bình là \(108 - {x^2}\).

Dựa vào hình 2 ta thấy đồ thị hàm số \(y = f(x) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\,\,\left( {a < 0} \right)\) và đường thẳng \(y = 30\) cắt nhau tại 3 điểm phân biệt có hoành độ \(x = 0;x = 50;x = 80.\)

\( \Rightarrow a{x^3} + b{x^2} + cx + d\, = 30 \Leftrightarrow a{x^3} + b{x^2} + cx + d - 30 = 0\)có 3 nghiệm phân biệt \(x = 0;x = 50;x = 80.\)

\( \Rightarrow a{x^3} + b{x^2} + cx + d - 30 = ax\left( {x - 50} \right)\left( {x - 80} \right) = a\left( {{x^3} - 130{x^2} + 4000x} \right)\)

Suy ra \(f\left( x \right) = a\left( {{x^3} - 130{x^2} + 4000x} \right) + 30\) \( \Rightarrow f'\left( x \right) = a\left( {3{x^2} - 260x + 4000} \right)\)

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 20\,\,\left( {TM} \right)}\\{x = \frac{{200}}{3}\,\left( {TM} \right)}\end{array}} \right.\).

Theo bài ra độ cao nhỏ nhất bằng 6 hay \(f\left( {20} \right) = 6 \Leftrightarrow a =  - \frac{1}{{1500}}\)

Độ cao lớn nhất mà tàu lượn siêu tốc đạt được là \(f\left( {\frac{{200}}{3}} \right) = \frac{{3230}}{{81}} \approx 39,9.\)

(a)  \(\overrightarrow {AB}  = (1 - 4; - 1 - 2;2 + 1) = ( - 3; - 3;3)\)

(b) \(\overrightarrow {AB}  = (1 - 4; - 1 - 2;2 + 1) = ( - 3; - 3;3) \Rightarrow |\overrightarrow {AB} | = \sqrt {{{( - 3)}^2} + {{( - 3)}^2} + {3^2}}  = 3\sqrt 3 \)

(c) Gọi \(M(x;y;z)\) thì \(\overrightarrow {MC}  = ( - x; - 2 - y,3 - z)\).

\({\rm{ V\`i  }}\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CM}  = \vec 0 \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {MC}  \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - x =  - 3}\\{ - 2 - y =  - 3}\\{3 - z = 3}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3}\\{y = 1}\\{z = 0}\end{array}} \right..{\rm{ }} \Rightarrow {\rm{M(3; }}1;0)} \right.{\rm{. }}\)

(d) Vì \[N\] thuộc mặt phẳng \[\left( {Oxy} \right)\] nên tọa độ điểm \[N\] là \(N(x;y;0)\)

Тa có: \(\overrightarrow {AN} (x - 4;y - 2;1);\overrightarrow {BN} (x - 1;y + 1; - 2)\)

Để \(A,B,N\) thẳng hàng thì hai vectơ \(\overrightarrow {AN} ,\overrightarrow {BN} \) cùng phương. Do đó, \(\overrightarrow {AN}  = k\overrightarrow {BN} \) (với \(k\) là số thực bất kì)

Suy ra, \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 4 = k(x - 1)}\\{y - 2 = k(y + 1)}\\{1 =  - 2k}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 4 =  - \frac{1}{2}(x - 1)}\\{y - 2 =  - \frac{1}{2}(y + 1)}\\{k = \frac{{ - 1}}{2}}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3}\\{y = 1}\end{array}} \right.} \right.} \right.\). Vậy \[N\left( {3;1;0} \right)\]