PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Một phần đường chạy của tàu lượn siêu tốc (hình 1) khi gắn hệ trục toạ độ \[{\rm{O}}xy\] được mô phỏng ở hình 2, đơn vị trên mỗi trục là mét. Biết đường chạy của nó là một phần đồ thị hàm bậc ba \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\,\left( {0 \le x < 90} \right)\); tàu lượn siêu tốc xuất phát từ điểm \(A\), đi qua các điểm \(C,D\) đồng thời đạt độ cao nhỏ nhất so với mặt đất là \(6m\). Độ cao lớn nhất mà tàu lượn siêu tốc đạt được là bao nhiêu mét so với mặt đất? (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

(a)  \(\overrightarrow {AB}  = (1 - 4; - 1 - 2;2 + 1) = ( - 3; - 3;3)\)

(b) \(\overrightarrow {AB}  = (1 - 4; - 1 - 2;2 + 1) = ( - 3; - 3;3) \Rightarrow |\overrightarrow {AB} | = \sqrt {{{( - 3)}^2} + {{( - 3)}^2} + {3^2}}  = 3\sqrt 3 \)

(c) Gọi \(M(x;y;z)\) thì \(\overrightarrow {MC}  = ( - x; - 2 - y,3 - z)\).

\({\rm{ V\`i  }}\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CM}  = \vec 0 \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {MC}  \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - x =  - 3}\\{ - 2 - y =  - 3}\\{3 - z = 3}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3}\\{y = 1}\\{z = 0}\end{array}} \right..{\rm{ }} \Rightarrow {\rm{M(3; }}1;0)} \right.{\rm{. }}\)

(d) Vì \[N\] thuộc mặt phẳng \[\left( {Oxy} \right)\] nên tọa độ điểm \[N\] là \(N(x;y;0)\)

Тa có: \(\overrightarrow {AN} (x - 4;y - 2;1);\overrightarrow {BN} (x - 1;y + 1; - 2)\)

Để \(A,B,N\) thẳng hàng thì hai vectơ \(\overrightarrow {AN} ,\overrightarrow {BN} \) cùng phương. Do đó, \(\overrightarrow {AN}  = k\overrightarrow {BN} \) (với \(k\) là số thực bất kì)

Suy ra, \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 4 = k(x - 1)}\\{y - 2 = k(y + 1)}\\{1 =  - 2k}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 4 =  - \frac{1}{2}(x - 1)}\\{y - 2 =  - \frac{1}{2}(y + 1)}\\{k = \frac{{ - 1}}{2}}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3}\\{y = 1}\end{array}} \right.} \right.} \right.\). Vậy \[N\left( {3;1;0} \right)\]

Gọi \(x\) \(\left( {1 \le x \le 20,x \in \mathbb{N}} \right)\) là số máy sử dụng và \(C\left( x \right)\) là hàm tổng chi phí sản xuất tương ứng.

Chi phí lắp đặt các máy là \(80x\)

Chi phí vận hành các máy là \(\frac{{400000}}{{200x}}.5,76\)

Tổng chi phí = Chi phí lắp đặt + Chi phí vận hành \( \Rightarrow C\left( x \right) = 80x + \frac{{11520}}{x}\)

Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(C\left( x \right)\) với \(x \in \left[ {1;20} \right]\)

Ta có \(C'\left( x \right) = 80 - \frac{{11520}}{{{x^2}}} \Rightarrow C'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 12\left( {tm} \right)\\x =  - 12\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)

Đồng thời \[\left\{ \begin{array}{l}C\left( 1 \right) = 11600\\C\left( {20} \right) = 2176\\C\left( {12} \right) = 1920\end{array} \right. \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {1;20} \right]} C\left( x \right) = C\left( {12} \right) = 1920 \Leftrightarrow x = 12\]

Vậy công ty nên sử dụng 12 máy để sản xuất thì tổng chi phí sẽ nhỏ nhất.