Một hộ kinh doanh sản xuất mỗi ngày được \(x\) sản phẩm, \(\left( {1 \le x \le 20} \right)\). Chi phí sản xuất \(x\) sản phẩm được cho bởi \(C\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 80x + 500\) (nghìn đồng). Giả sử hộ kinh doanh này bán mỗi sản phẩm với giá \(320\) nghìn đồng. Lợi nhuận lớn nhất mà hộ kinh doanh có được là bao nhiêu triệu đồng? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Gọi giá tiền mà chủ khách sạn cho thuê một phòng là \[x\] (triệu đồng). (\[1 \le x\])

Vì cứ tăng giá thêm 50 000 đồng một phòng thì có thêm 1 phòng trống nên số phòng được thuê là: \[30 - \frac{{x - 1}}{{0,05}}.1 = 50 - 20x\] (phòng).

Khi đó tổng doanh thu tương ứng trong 1 ngày là: \[x\left( {50 - 20x} \right) =  - 20{x^2} + 50x\] (triệu đồng).

Đặt \[f(x) =  - 20{x^2} + 50x\]. Ta có:

\[f'(x) =  - 40x + 50\].

Vì \[f(x)\] là tam thức bậc hai có hệ số cao nhất âm nên \[f(x)\] đạt giá trị lớn nhất tại \[x = 1,25\].

Vậy để tổng doanh thu là lớn nhất thì chủ khách sạn nên cho thuê phòng với giá \[1,25\] triệu đồng một ngày.

a. Sai: Đồ thị của hàm số có tiệm cận đứng là \(x = 1\)

\(y = x - \frac{1}{{x + 1}}\)

Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \{  - 1\} \)

\(y' = 1 + \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0,\forall x \in D\): hàm số luôn luôn đồng biến, không có cực đại, cực tiểu

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1 \mp } y =  \pm \infty :x =  - 1\)là tiệm cận đứng

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y = x:y = x\)là tiệm cận xiên

b. Đúng: Đồ thị hàm số cắt trục \(Oy\) tại \(M\). Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(M\) là \(y = 2x - 1\)

\(M\left( {0; - 1} \right),{y'_0} = 2\)

Phương trình tiếp tuyến \(\left( T \right)\) tại \(M:y = 2(x - 0) - 1 \Leftrightarrow y = 2x - 1\)

c. Sai: Tồn tại hai tiếp tuyến của đồ thị vuông góc với nhau

Tiếp tuyến \(\left( {{T_1}} \right)\) của \(\left( C \right)\) tại \(P\left( {{x_1},{y_1}} \right)\) có hệ số góc

\({k_1} = {y'_{{x_1}}} = 1 + \frac{1}{{{{\left( {{x_1} + 1} \right)}^2}}} > 0\)

Tiếp tuyến \(\left( {{T_2}} \right)\) của \(\left( C \right)\) tại \(Q\left( {{x_2},{y_2}} \right)\) có hệ số góc

\({k_2} = y_{{x_2}}^\prime  = 1 + \frac{1}{{{{\left( {{x_2} + 1} \right)}^2}}} > 0\)

Do \({y'_{{x_1}}} > 0,{y'_{{x_2}}} > 0\) nên không thể có 2 tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) vuông góc nhau

d. Đúng: Để đường thẳng \(y = k\) cắt \(\left( C \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A\) và \(B\) sao cho \(OA \bot OB\) khi đó \(k\) là nghiệm của phương trình \({k^2} - k - 1 = 0\)

\(y = x - \frac{1}{{x + 1}} = \frac{{{x^2} + x - 1}}{{x + 1}}\)

Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( C \right)\) và đường thẳng \(y = k\):

\(\frac{{{x^2} + x - 1}}{{x + 1}} = k \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne  - 1\\{x^2} - \left( {k - 1} \right)x - \left( {k + 1} \right) = 0\,\,\,\left(  *  \right)\end{array} \right.\)

Do vị trí của \(\left( C \right)\) trên hệ tọa độ \(Oxy\), có thể kết luận \(\left(  *  \right)\) luôn có 2 nghiệm phân biệt \({x_A},{x_B} \ne  - 1\) và \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_A} + {x_B} = k - 1}\\{{x_A} \cdot {x_B} =  - \left( {k + 1} \right)}\end{array};A\left( {{x_A};k} \right),B\left( {{x_B};k} \right)} \right.\)

\(\overrightarrow {OA}  = \left( {{x_A},k} \right),\overrightarrow {OB}  = \left( {{x_B},k} \right)\)

\(OA \bot OB \Leftrightarrow \overrightarrow {OA}  \cdot \overrightarrow {OB}  = 0 \Leftrightarrow {x_A}{x_B} + {k^2} = 0 \Leftrightarrow  - k - 1 + {k^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{k = \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}}\\{k = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}}\end{array}} \right.\)