Cho hàm số \(y = x - \frac{1}{{x + 1}}\)

a) Đồ thị của hàm số có tiệm cận đứng là \(x = 1\).

b) Đồ thị hàm số cắt trục \(Oy\) tại \(M\). Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(M\) là \(y = 2x - 1\).

c) Tồn tại hai tiếp tuyến của đồ thị vuông góc với nhau.

d) Để đường thẳng \(y = k\) cắt \(\left( C \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A\) và \(B\) sao cho \(OA \bot OB\) khi đó \(k\) là nghiệm của phương trình \({k^2} - k - 1 = 0\).

a. Sai: Đồ thị của hàm số có tiệm cận đứng là \(x = 1\)

\(y = x - \frac{1}{{x + 1}}\)

Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \{  - 1\} \)

\(y' = 1 + \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0,\forall x \in D\): hàm số luôn luôn đồng biến, không có cực đại, cực tiểu

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1 \mp } y =  \pm \infty :x =  - 1\)là tiệm cận đứng

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y = x:y = x\)là tiệm cận xiên

b. Đúng: Đồ thị hàm số cắt trục \(Oy\) tại \(M\). Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(M\) là \(y = 2x - 1\)

\(M\left( {0; - 1} \right),{y'_0} = 2\)

Phương trình tiếp tuyến \(\left( T \right)\) tại \(M:y = 2(x - 0) - 1 \Leftrightarrow y = 2x - 1\)

c. Sai: Tồn tại hai tiếp tuyến của đồ thị vuông góc với nhau

Tiếp tuyến \(\left( {{T_1}} \right)\) của \(\left( C \right)\) tại \(P\left( {{x_1},{y_1}} \right)\) có hệ số góc

\({k_1} = {y'_{{x_1}}} = 1 + \frac{1}{{{{\left( {{x_1} + 1} \right)}^2}}} > 0\)

Tiếp tuyến \(\left( {{T_2}} \right)\) của \(\left( C \right)\) tại \(Q\left( {{x_2},{y_2}} \right)\) có hệ số góc

\({k_2} = y_{{x_2}}^\prime  = 1 + \frac{1}{{{{\left( {{x_2} + 1} \right)}^2}}} > 0\)

Do \({y'_{{x_1}}} > 0,{y'_{{x_2}}} > 0\) nên không thể có 2 tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) vuông góc nhau

d. Đúng: Để đường thẳng \(y = k\) cắt \(\left( C \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A\) và \(B\) sao cho \(OA \bot OB\) khi đó \(k\) là nghiệm của phương trình \({k^2} - k - 1 = 0\)

\(y = x - \frac{1}{{x + 1}} = \frac{{{x^2} + x - 1}}{{x + 1}}\)

Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( C \right)\) và đường thẳng \(y = k\):

\(\frac{{{x^2} + x - 1}}{{x + 1}} = k \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne  - 1\\{x^2} - \left( {k - 1} \right)x - \left( {k + 1} \right) = 0\,\,\,\left(  *  \right)\end{array} \right.\)

Do vị trí của \(\left( C \right)\) trên hệ tọa độ \(Oxy\), có thể kết luận \(\left(  *  \right)\) luôn có 2 nghiệm phân biệt \({x_A},{x_B} \ne  - 1\) và \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_A} + {x_B} = k - 1}\\{{x_A} \cdot {x_B} =  - \left( {k + 1} \right)}\end{array};A\left( {{x_A};k} \right),B\left( {{x_B};k} \right)} \right.\)

\(\overrightarrow {OA}  = \left( {{x_A},k} \right),\overrightarrow {OB}  = \left( {{x_B},k} \right)\)

\(OA \bot OB \Leftrightarrow \overrightarrow {OA}  \cdot \overrightarrow {OB}  = 0 \Leftrightarrow {x_A}{x_B} + {k^2} = 0 \Leftrightarrow  - k - 1 + {k^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{k = \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}}\\{k = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}}\end{array}} \right.\)