Người ta cần lắp một camera phía trên sân bóng để phát sóng truyền hình một trận bóng đá, camera có thể di động để luôn thu được hình ảnh rõ nét về diễn biến trên sân. Các kĩ sư dự định trồng bốn chiếc cột cao \(30{\rm{\;m}}\) và sử dụng hệ thống cáp gắn vào bốn đầu cột để giữ camera ở vị trí mong muốn. Mô hình thiết kế được xây dựng như sau: Trong hệ trục toạ độ \(Oxyz\) (đơn vị độ dài trên mỗi trục là 1 m), các đỉnh của bốn chiếc cột lần lượt là các điểm \(M\left( {90;0;30} \right),N\left( {90;120;30} \right),P\left( {0;120;30} \right),Q\left( {0;0;30} \right)\) (Hình vẽ). Giả sử \({K_0}\) là vị trí ban đầu của camera có cao độ bằng 25 và \({K_0}M = {K_0}\;N = {K_0}P = {K_0}Q\). Để theo dõi quả bóng đến vị trí \(A\), camera được hạ thấp theo phương thẳng đứng xuống điểm \({K_1}\) có cao độ bằng 19. (Nguồn: https:/mww.abiturloesumg.de; Abitur Bayern 2016 Geometrie V).

Tọa độ véctơ \(\overrightarrow {{K_0}{K_1}}  = \left( {a;b;c} \right)\) với \(a,\,b,\,c\) là các số thực. Tính \(P = a + b + 3c\)?

Doanh thu tối đa mà hộ kinh doanh có thể thu được là \(320x\) (nghìn đồng).

Lợi nhuận hộ kinh doanh thu được là\(L\left( x \right) = 320x - \left( {{x^3} - 3{x^2} + 80x + 500} \right) =  - {x^3} + 3{x^2} + 240x - 500\).

Ta có \(L'\left( x \right) =  - 3{x^2} + 6x + 240 = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 10}\\{x =  - 8.}\end{array}} \right.\)

Bảng biến thiên

Vậy lợi nhuận lớn nhất mà hộ kinh doanh có được là 1200 nghìn đồng\( = 1,2\) triệu đồng.

a. Sai: Đồ thị của hàm số có tiệm cận đứng là \(x = 1\)

\(y = x - \frac{1}{{x + 1}}\)

Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \{  - 1\} \)

\(y' = 1 + \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0,\forall x \in D\): hàm số luôn luôn đồng biến, không có cực đại, cực tiểu

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1 \mp } y =  \pm \infty :x =  - 1\)là tiệm cận đứng

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y = x:y = x\)là tiệm cận xiên

b. Đúng: Đồ thị hàm số cắt trục \(Oy\) tại \(M\). Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(M\) là \(y = 2x - 1\)

\(M\left( {0; - 1} \right),{y'_0} = 2\)

Phương trình tiếp tuyến \(\left( T \right)\) tại \(M:y = 2(x - 0) - 1 \Leftrightarrow y = 2x - 1\)

c. Sai: Tồn tại hai tiếp tuyến của đồ thị vuông góc với nhau

Tiếp tuyến \(\left( {{T_1}} \right)\) của \(\left( C \right)\) tại \(P\left( {{x_1},{y_1}} \right)\) có hệ số góc

\({k_1} = {y'_{{x_1}}} = 1 + \frac{1}{{{{\left( {{x_1} + 1} \right)}^2}}} > 0\)

Tiếp tuyến \(\left( {{T_2}} \right)\) của \(\left( C \right)\) tại \(Q\left( {{x_2},{y_2}} \right)\) có hệ số góc

\({k_2} = y_{{x_2}}^\prime  = 1 + \frac{1}{{{{\left( {{x_2} + 1} \right)}^2}}} > 0\)

Do \({y'_{{x_1}}} > 0,{y'_{{x_2}}} > 0\) nên không thể có 2 tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) vuông góc nhau

d. Đúng: Để đường thẳng \(y = k\) cắt \(\left( C \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A\) và \(B\) sao cho \(OA \bot OB\) khi đó \(k\) là nghiệm của phương trình \({k^2} - k - 1 = 0\)

\(y = x - \frac{1}{{x + 1}} = \frac{{{x^2} + x - 1}}{{x + 1}}\)

Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( C \right)\) và đường thẳng \(y = k\):

\(\frac{{{x^2} + x - 1}}{{x + 1}} = k \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne  - 1\\{x^2} - \left( {k - 1} \right)x - \left( {k + 1} \right) = 0\,\,\,\left(  *  \right)\end{array} \right.\)

Do vị trí của \(\left( C \right)\) trên hệ tọa độ \(Oxy\), có thể kết luận \(\left(  *  \right)\) luôn có 2 nghiệm phân biệt \({x_A},{x_B} \ne  - 1\) và \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_A} + {x_B} = k - 1}\\{{x_A} \cdot {x_B} =  - \left( {k + 1} \right)}\end{array};A\left( {{x_A};k} \right),B\left( {{x_B};k} \right)} \right.\)

\(\overrightarrow {OA}  = \left( {{x_A},k} \right),\overrightarrow {OB}  = \left( {{x_B},k} \right)\)

\(OA \bot OB \Leftrightarrow \overrightarrow {OA}  \cdot \overrightarrow {OB}  = 0 \Leftrightarrow {x_A}{x_B} + {k^2} = 0 \Leftrightarrow  - k - 1 + {k^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{k = \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}}\\{k = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}}\end{array}} \right.\)