Một khách sạn có 30 phòng. Chủ khách sạn nhận thấy nếu cho thuê mỗi phòng với giá 1 000 000 đồng/ngày thì tất cả các phòng đều được thuê hết và cứ tăng giá thêm 50 000 đồng một phòng thì sẽ bị trống thêm 1 phòng. Hỏi chủ khách sạn nên cho thuê mỗi phòng với giá bao nhiêu triệu đồng một ngày để tổng doanh thu một ngày là lớn nhất?

Doanh thu tối đa mà hộ kinh doanh có thể thu được là \(320x\) (nghìn đồng).

Lợi nhuận hộ kinh doanh thu được là\(L\left( x \right) = 320x - \left( {{x^3} - 3{x^2} + 80x + 500} \right) =  - {x^3} + 3{x^2} + 240x - 500\).

Ta có \(L'\left( x \right) =  - 3{x^2} + 6x + 240 = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 10}\\{x =  - 8.}\end{array}} \right.\)

Bảng biến thiên

Vậy lợi nhuận lớn nhất mà hộ kinh doanh có được là 1200 nghìn đồng\( = 1,2\) triệu đồng.

a. Sai: Đồ thị của hàm số có tiệm cận đứng là \(x = 1\)

\(y = x - \frac{1}{{x + 1}}\)

Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \{  - 1\} \)

\(y' = 1 + \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0,\forall x \in D\): hàm số luôn luôn đồng biến, không có cực đại, cực tiểu

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1 \mp } y =  \pm \infty :x =  - 1\)là tiệm cận đứng

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y = x:y = x\)là tiệm cận xiên

b. Đúng: Đồ thị hàm số cắt trục \(Oy\) tại \(M\). Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(M\) là \(y = 2x - 1\)

\(M\left( {0; - 1} \right),{y'_0} = 2\)

Phương trình tiếp tuyến \(\left( T \right)\) tại \(M:y = 2(x - 0) - 1 \Leftrightarrow y = 2x - 1\)

c. Sai: Tồn tại hai tiếp tuyến của đồ thị vuông góc với nhau

Tiếp tuyến \(\left( {{T_1}} \right)\) của \(\left( C \right)\) tại \(P\left( {{x_1},{y_1}} \right)\) có hệ số góc

\({k_1} = {y'_{{x_1}}} = 1 + \frac{1}{{{{\left( {{x_1} + 1} \right)}^2}}} > 0\)

Tiếp tuyến \(\left( {{T_2}} \right)\) của \(\left( C \right)\) tại \(Q\left( {{x_2},{y_2}} \right)\) có hệ số góc

\({k_2} = y_{{x_2}}^\prime  = 1 + \frac{1}{{{{\left( {{x_2} + 1} \right)}^2}}} > 0\)

Do \({y'_{{x_1}}} > 0,{y'_{{x_2}}} > 0\) nên không thể có 2 tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) vuông góc nhau

d. Đúng: Để đường thẳng \(y = k\) cắt \(\left( C \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A\) và \(B\) sao cho \(OA \bot OB\) khi đó \(k\) là nghiệm của phương trình \({k^2} - k - 1 = 0\)

\(y = x - \frac{1}{{x + 1}} = \frac{{{x^2} + x - 1}}{{x + 1}}\)

Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( C \right)\) và đường thẳng \(y = k\):

\(\frac{{{x^2} + x - 1}}{{x + 1}} = k \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne  - 1\\{x^2} - \left( {k - 1} \right)x - \left( {k + 1} \right) = 0\,\,\,\left(  *  \right)\end{array} \right.\)

Do vị trí của \(\left( C \right)\) trên hệ tọa độ \(Oxy\), có thể kết luận \(\left(  *  \right)\) luôn có 2 nghiệm phân biệt \({x_A},{x_B} \ne  - 1\) và \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_A} + {x_B} = k - 1}\\{{x_A} \cdot {x_B} =  - \left( {k + 1} \right)}\end{array};A\left( {{x_A};k} \right),B\left( {{x_B};k} \right)} \right.\)

\(\overrightarrow {OA}  = \left( {{x_A},k} \right),\overrightarrow {OB}  = \left( {{x_B},k} \right)\)

\(OA \bot OB \Leftrightarrow \overrightarrow {OA}  \cdot \overrightarrow {OB}  = 0 \Leftrightarrow {x_A}{x_B} + {k^2} = 0 \Leftrightarrow  - k - 1 + {k^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{k = \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}}\\{k = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}}\end{array}} \right.\)