Một doanh nghiệp dự định sản xuất \(200\) máy tính bảng dành cho học sinh. Nếu doanh nghiệp đó bán \(x\) máy tính bảng \(\left( {1 \le x \le 200,x \in \mathbb{N}} \right)\) thì giá bán cho mỗi máy tính bảng là \(p\left( x \right) = 4000 - 10x\)(nghìn đồng), trong đó chí phí để sản xuất mỗi máy tính bảng là \(c\left( x \right) = {x^2} - 70x + 400 + \frac{{1000}}{x}\)(nghìn đồng). Hỏi doanh nghiệp đó sẽ bán bao nhiêu máy tính bảng để lợi nhuận cao nhất?.

Gọi \(y\) là chiều dài của miếng phụ.

Diện tích sử dụng theo tiết diện ngang là \(S = {S_{MNPQ}} + 4xy\).

Cạnh hình vuông \(MN = \frac{{MP}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{40}}{{\sqrt 2 }} = 20\sqrt 2 \)cm \( \Rightarrow S = {(20\sqrt 2 )^2} + 4xy = 800 + 4xy\)

Ta có \(2x = AB - MN = AB - 20\sqrt 2  < BD - 20\sqrt 2  = 40 - 20\sqrt 2  \Rightarrow 0 < x < 20 - 10\sqrt 2 \).

Lại có \(A{B^2} + A{D^2} = B{D^2} = {40^2} \Rightarrow {(2x + 20\sqrt 2 )^2} + {y^2} = 1600\).

Thế vào (1), ta được

\(S = 800 + 4x\sqrt {800 - 80x\sqrt 2  - 4{x^2}}  = 800 + 4\sqrt {800{x^2} - 80{x^3}\sqrt 2  - 4{x^4}} \)

Xét hàm số \(f(x) = 800{x^2} - 80{x^3}\sqrt 2  - 4{x^4}\), với \(x \in (0;20 - 10\sqrt 2 )\) có

\({f^\prime }(x) = 1600x - 240{x^2}\sqrt 2  - 16{x^3} = 16x\left( {100 - 15x\sqrt 2  - {x^2}} \right)\).

Ta có bảng biến thiên

Vậy \(x = \frac{{5\sqrt {34}  - 15\sqrt 2 }}{2} \approx 3,97\) chính là giá trị cần tìm.

Ta có công thức lượng muối \(x\) (pound) trong bể sau \(t\) phút:

\(x(t) = 1,5(10 - t) - 0,0013{(10 - t)^4};\quad 0 \le t \le 10\)

Đặt \(u = 10 - t\). Khi \(t\) chạy từ 0 đến 10 thì \(u\) chạy từ 10 xuống 0.

Khi đó \(x = 1,5u - 0,0013{u^4};\quad 0 \le u \le 10\)

Tính đạo hàm theo \(u\) ta được: \(1,5 - 0,0013 \cdot 4{u^3} = 1,5 - 0,0052{u^3}\)

Xét \(1,5 - 0,0052{u^3} = 0 \Rightarrow {u^3} = \frac{{1,5}}{{0,0052}} \approx 288,46 \Rightarrow u \approx \sqrt[3]{{288,46}} \approx 6,62\)

Lập bảng xét dấu ta được:

Suy ra tại \(u \approx 6,62\):

Lượng muối trong bể đạt tối đa khoảng 7,43 lb tại thời điểm \(t \approx 3,38\) phút kể từ lúc bắt đầu.