Một doanh nghiệp dự định sản xuất \(200\) máy tính bảng dành cho học sinh. Nếu doanh nghiệp đó bán \(x\) máy tính bảng \(\left( {1 \le x \le 200,x \in \mathbb{N}} \right)\) thì giá bán cho mỗi máy tính bảng là \(p\left( x \right) = 4000 - 10x\)(nghìn đồng), trong đó chí phí để sản xuất mỗi máy tính bảng là \(c\left( x \right) = {x^2} - 70x + 400 + \frac{{1000}}{x}\)(nghìn đồng). Hỏi doanh nghiệp đó sẽ bán bao nhiêu máy tính bảng để lợi nhuận cao nhất?.

Do chiếc may bay di duyển với tốc độ và hướng không đổi từ \(A\) đến \(B\) trong 10 phút và từ \(B\) đến \(C\) trong 10 phút.

Nên suy ra \(AB = BC\) và \(A,\,B,\,C\) thẳng hàng.

Suy ra \(B\) là trung điểm của \(AC\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} = \frac{{{x_A} + {x_C}}}{2}\\{y_B} = \frac{{{y_A} + {y_C}}}{2}\\{z_B} = \frac{{{z_A} + {z_C}}}{2}\end{array} \right.\)\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}950 = \frac{{812 + x}}{2}\\530 = \frac{{600 + y}}{2}\\6 = \frac{{5 + z}}{2}\end{array} \right.\]\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1088\\y = 460\\z = 7\end{array} \right.\).

Vậy \(x + y + z = 1555\).

Gọi \(y\) là chiều dài của miếng phụ.

Diện tích sử dụng theo tiết diện ngang là \(S = {S_{MNPQ}} + 4xy\).

Cạnh hình vuông \(MN = \frac{{MP}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{40}}{{\sqrt 2 }} = 20\sqrt 2 \)cm \( \Rightarrow S = {(20\sqrt 2 )^2} + 4xy = 800 + 4xy\)

Ta có \(2x = AB - MN = AB - 20\sqrt 2  < BD - 20\sqrt 2  = 40 - 20\sqrt 2  \Rightarrow 0 < x < 20 - 10\sqrt 2 \).

Lại có \(A{B^2} + A{D^2} = B{D^2} = {40^2} \Rightarrow {(2x + 20\sqrt 2 )^2} + {y^2} = 1600\).

Thế vào (1), ta được

\(S = 800 + 4x\sqrt {800 - 80x\sqrt 2  - 4{x^2}}  = 800 + 4\sqrt {800{x^2} - 80{x^3}\sqrt 2  - 4{x^4}} \)

Xét hàm số \(f(x) = 800{x^2} - 80{x^3}\sqrt 2  - 4{x^4}\), với \(x \in (0;20 - 10\sqrt 2 )\) có

\({f^\prime }(x) = 1600x - 240{x^2}\sqrt 2  - 16{x^3} = 16x\left( {100 - 15x\sqrt 2  - {x^2}} \right)\).

Ta có bảng biến thiên

Vậy \(x = \frac{{5\sqrt {34}  - 15\sqrt 2 }}{2} \approx 3,97\) chính là giá trị cần tìm.