Chào đón năm mới \(2025\), Thành phố trang trí đèn led biểu tượng hình chữ \(V\) được ghép từ các thanh \(AB = 4m\), \(AC = 5m\) sao cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\). Để tăng hiệu ứng, các kỹ sư đã thiết kế một chuỗi led chạy từ \(B\) xuống \(A\) với vận tốc \(4\)\({\rm{m/}}\)phút và một chuỗi led chạy từ \(A\) lên \(C\) với vận tốc \(10\)\({\rm{m/}}\)phút. Sau khi đóng nguồn điện thì cả hai chuỗi led đồng thời xuất phát. Hỏi sau bao nhiêu giây từ thời điểm đóng nguồn thì khoảng cách giữa hai điểm sáng đầu tiên của hai chuỗi led là nhỏ nhất ?

Hàm chi phí trung bình

\[\bar C = \bar C(Q) = \frac{C}{Q} = \frac{{\frac{{{Q^2}}}{4} + 3Q + 400}}{Q} = \frac{Q}{4} + 3 + \frac{{400}}{Q}(\]với \[Q > 0){\rm{. }}\]

Ta có \({\bar C^\prime }(Q) = \frac{1}{4} - \frac{{400}}{{{Q^2}}} = \frac{{{Q^2} - 1600}}{{4{Q^2}}} = 0 \Leftrightarrow Q = 40\)

Vì \({\bar C^{\prime \prime }}(Q) = \frac{{800}}{{{Q^2}}} > 0\), nên hàm số \(\bar C\) đạt cực tiểu tại \(Q = 40\).

Chi phí trung bình tối thiểu là \(\bar C(40) = \frac{{40}}{4} + 3 + \frac{{400}}{{40}} = 23\)

Ta có:

\(AH = \frac{{AC - HK}}{2} = 3\sqrt 2  - \frac{x}{2}.\)

Đường cao của hình chóp tứ giác đều là:

\(h = \sqrt {A{H^2} - O{H^2}}  = \sqrt {{{\left( {3\sqrt 2  - \frac{x}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{x}{2}} \right)}^2}}  = \sqrt {18 - 3\sqrt 2 x} \).

Thể tích khối chóp là: \(V = \frac{1}{3}h{x^2} = \frac{1}{3}{x^2}\sqrt {18 - 3\sqrt 2 x}  = \frac{1}{3}\sqrt {{x^4}(18 - 3\sqrt 2 x)} \).

Để tìm giá trị lớn nhất của \(V\) ta đi tìm giá trị lớn nhất của hàm số

\(f(x) = {x^4}(18 - 3\sqrt 2 x){\rm{, }}0 < x < 6\sqrt 2 {\rm{. }}\)

Ta có: \({f^\prime }(x) = {x^3}( - 15\sqrt 2 x + 72),{f^\prime }(x) = 0\) khi \(x = 0\) hoặc \(x = \frac{{12\sqrt 2 }}{5}\).

Bảng biến thiên của \(f(x)\) như sau:

Từ bảng biến thiên ta có \({\max _{(0;6\sqrt 2 )}}f\left( {\frac{{12\sqrt 2 }}{5}} \right) \approx 477,75\) tại \(x = \frac{{12\sqrt 2 }}{5}\).

Vậy thể tích của khối chóp có giá trị lớn nhất bằng:

\({V_{\max }} = \frac{1}{3}\sqrt {{{\left( {\frac{{12\sqrt 2 }}{5}} \right)}^4}\left( {18 - 3\sqrt 2  \cdot \frac{{12\sqrt 2 }}{5}} \right)}  \approx 7,3\left( {d{m^3}} \right).\)