Một sợi dây kim loại dài \(60cm\) được cắt thành hai đoạn. Đoạn dây thứ nhất uốn thành hình vuông cạnh \(a\), đoạn dây thứ hai uốn thành đường tròn bán kính \(r\) (hình vẽ).

              a) Điều kiện \(\,0 < a < 15\).

              b) Chu vi đường tròn tạo được là \(\,2\pi r = 60 - 2a\)

              c) Tổng diện tích của hình vuông và hình tròn nhỏ nhất khi tỉ số \(\frac{a}{r} = \frac{1}{2}\).

              d) Bán kính đường tròn tạo được là \(\,r = \frac{{30 - 2a}}{\pi }\).

Đồ thị \(\left( C \right)\) của một hàm số bậc ba có dạng: \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\;\left( {a \ne 0} \right)\).

Vì đồ thị \(\left( C \right)\) đi qua các điểm \(A\left( {0;8} \right),B\left( {2;5,4} \right),K\left( {5;6,75} \right)\) và \(H\left( {8;0} \right)\) nên ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}d = 8\\8a + 4b + 2c + d = 5,4\\125a + 25b + 5c + d = 6,75\\512a + 64b + 8c + d = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - \frac{1}{{10}}\\b = \frac{{21}}{{20}}\\c =  - 3\\d = 8\end{array} \right.\).

Suy ra \(f\left( x \right) =  - \frac{1}{{10}}{x^3} + \frac{{21}}{{20}}{x^2} - 3x + 8\).

Điểm \(M\) thuộc \(\left( C \right)\) sao cho khoảng cách từ \(M\) đến \(d\) là nhỏ nhất khi và chỉ khi tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(M\) song song với \(d\) (\(\left( {{x_M} > 5} \right)\).

Ta có: \(f'\left( x \right) =  - \frac{3}{{10}}{x^2} + \frac{{21}}{{10}}x - 3\).

Đường thẳng \(d\) có hệ số góc \(k =  - \frac{{13}}{9}\).

Suy ra: \( - \frac{3}{{10}}{x^2} + \frac{{21}}{{10}}x - 3 =  - \frac{{13}}{9} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 6,16\\x = 0,84 < 5\end{array} \right.\).

Do \({x_M} > 5\) nên \({x_M} = 6,16\) thỏa mãn.

Gọi \(x{\rm{ }}\left( {x > 0} \right)\,\,\)nghìn là số tiền giá vé giảm.

Khi đó giá vé sau khi giảm là \(100 - x\,\) (nghìn đồng).

Sau mỗi lần giảm giá thì có thêm 300x khán giả.

Do đó tổng số khán giả đến xem là 27000 + 300x.

Vì sân vận động có sức chứa 55 000 khán giá nên \(27000 + 300x \le 55000 \Leftrightarrow x \le \frac{{280}}{3}\,\)

Doanh thu từ tiền bán vé là:\(y = \left( {27000 + 300x} \right)\left( {100 - x} \right) =  - 300{x^2} + 3000x + 2700000\,\)

Yêu cầu bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(y =  - 300{x^2} + 3000x + 2700000{\rm{  }}\,\)

Tập xác định \[{\rm{D}} = \left( {0;\frac{{280}}{3}} \right]\,\]

\(y' =  - 600x + 3000.{\rm{  }}y' = 0 \Leftrightarrow x = 5\)

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy ban tổ chức nên đặt giá vé là 95 nghìn đồng thì doanh thu tiền bán vé là lớn nhất.