Doanh số bán hàng của một loại sản phẩm (chục triệu đồng) trong một phiên livestream bán hàng kéo dài sáu giờ theo quy luật hàm số \(f(t) = \frac{{3t}}{{{e^{\frac{t}{2}}}}},0 \le t \le 6\) trong đó thời gian \(t\) được tính bằng giờ kể từ khi bắt đầu livestream.

Khi đó, đạo hàm \(f\prime (t)\) sẽ biểu thị tốc độ bán hàng. Hỏi sau bao nhiêu giờ kể từ khi bắt đầu phiên livestream thì doanh số bán hàng là lớn nhất?

Theo đề bài ta có : \(OA = 2\,\,{\rm{km}}\), \(OB = 3\,\,{\rm{km}}\) và \[528\,\,{\rm{m = 0,528}}\,\,{\rm{km}}\].

Đồ thị hàm số \[y = f\left( x \right)\] đi qua các điểm \(O\left( {0\,;\,\,0} \right)\), \(A\left( {2\,;\,\,0} \right)\,,\,\,C\left( {3\,;\,\,0} \right)\) suy ra\(y = f\left( x \right) = ax\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) = a\left( {{x^3} - 5{x^2} + 6x} \right)\) với \(a > 0\).

Ta có : \(y' = a\left( {3{x^2} - 10x + 6} \right)\), \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{5 + \sqrt 7 }}{3}\\x = \frac{{5 - \sqrt 7 }}{3}\end{array} \right.\).

Từ độ cao của đồi ta có tại vị trí điểm cực đại  suy ra \(a = \frac{{0,528}}{{{{\left( {\frac{{5 - \sqrt 7 }}{3}} \right)}^3} - 5.{{\left( {\frac{{5 - \sqrt 7 }}{3}} \right)}^2} + 6.\left( {\frac{{5 - \sqrt 7 }}{3}} \right)}} \approx 0,25\).

Điểm sâu nhất của hồ ứng với vị trí của điểm cực tiểu \({x_{CT}} = \frac{{5 + \sqrt 7 }}{3}\,,\,\,{y_{CT}} \approx 0,1578\).

Vậy độ sâu của hồ tại điểm sâu nhất xấp xỉ \(0,1578\,\,{\rm{km}}\) hay xấp xỉ \(158\,\,{\rm{m}}\).

Nước muối tinh khiết: \(30.40.{\kern 1pt} {\kern 1pt} t{\kern 1pt} \,\) (gam).

Nồng độ muối sau \(t\) phút: \(f\left( t \right) = \frac{{30.40.t}}{{30t + 3000}}\)

Khi t càng lớn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{30.40.{\kern 1pt} {\kern 1pt} t}}{{30t + 3000}} = 40\)(gam/lít)