PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(M\left( {2;3; - 1} \right),N\left( { - 1;1;1} \right)\).

a) Điểm \(I\left( {a;b;c} \right)\) nằm trên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) thỏa mãn \(T = \left| {3\overrightarrow {IM} - \overrightarrow {IN} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó \(2a + b + c = 9\).

              b) Gọi \(E\) là điểm đối xứng của điểm \(M\) qua \(N\). Tọa độ của điểm \(E\) là \(\left( { - 4; - 1;3} \right)\).

              c) Hình chiếu của điểm \(M\) trên trục \(Oy\) có tọa độ là \(\left( { - 2;3;1} \right)\).

              d) Cho \(P\left( {1;m - 1;3} \right)\). Tam giác \(MNP\) vuông tại \(N\) khi và chỉ khi \(m = 1\).

Doanh thu khi nhà máy \(A\) bán hết \(x\) tấn sản phẩm cho nhà máy \(B\) là: \(x.P\left( x \right) = x\left( {45 - 0,001{x^2}} \right) = 45x - 0,001{x^3}\).

Lợi nhuận thu được là: \(L\left( x \right) = 45x - 0,001{x^3} - \left( {100 + 30x} \right)\)\( =  - 0,001{x^3} + 15x - 100\).

Ta có: \(L'\left( x \right) =  - 0,003{x^2} + 15 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \approx 70,7\,\,\,}\\{x \approx  - 70,7}\end{array}} \right.\)

Bảng biến thiên:

Ta có: \(L\left( {70} \right) = 607\), \(L\left( {71} \right) = 607,089 > L\left( {70} \right)\)

Như vậy, nhà máy \(A\) cần bán \(71\) tấn sản phẩm cho nhà máy \(B\) mỗi tháng để lợi nhuận thu được là lớn nhất.

Ta có: \(A\left( {0;0;5} \right),B\left( {6;7;1} \right),C\left( {5;0;2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \left( {6;7; - 4} \right),\overrightarrow {AC}  = \left( {5;0; - 3} \right),\overrightarrow {BC}  = \left( { - 1; - 7;1} \right)\).

\(\left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AB} } \right] = \left( {21;2;35} \right)\); \(AB = \sqrt {101} \); \(AC = \sqrt {34} \); \(BC = \sqrt {51} \).

\({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AB} } \right]} \right| = \frac{{\sqrt {{{21}^2} + {2^2} + {{35}^2}} }}{2} = \frac{{\sqrt {1670} }}{2}\).

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) bằng: \(R = \frac{{AB.AC.BC}}{{4{S_{\Delta ABC}}}} = \frac{{\sqrt {101} .\sqrt {34} .\sqrt {51} }}{{4.\frac{{\sqrt {1670} }}{2}}} = \frac{{17\sqrt {253005} }}{{1670}} \approx 5,12\).

\(\cos \widehat C = \frac{{A{C^2} + B{C^2} - A{B^2}}}{{2.AC.BC}} =  - \frac{{4\sqrt 6 }}{{51}}\). Suy ra \(\widehat C \approx 1,7641 \Rightarrow \widehat A + \widehat B \approx \pi  - 1,7641 \approx 1,3775\).

Suy ra số đo cung \(ACB\) bằng \(2\left( {\widehat A + \widehat B} \right) \approx 2,755 = \alpha \)

Suy ra độ dài cung  bằng \(R.\alpha  \approx 14,1056 \approx 14\left( m \right)\).