III. Hướng dẫn giải tự luận

 (1 điểm) Giải các phương trình lượng giác sau:

a) \({\sin ^2}x + 5\sin x\cos x + 6{\cos ^2}x = 6\).

b) \(\cos 3x - \sin 2x - \cos x = 0\).

Lời giải:

a) \({\sin ^2}x + 5\sin x\cos x + 6{\cos ^2}x = 6\)

TH1: \(\cos x = 0 \Leftrightarrow {\sin ^2}x = 1,\) khi đó phương trình trở thành \(1 = 6\) (vô nghiệm).

TH2: \(\cos x \ne 0.\) Chia cả 2 vế của phương trình cho \({\cos ^2}x\), ta được:

\({\tan ^2}x + 5\tan x + 6 = 6\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) \Leftrightarrow 5{\tan ^2}x - 5\tan x = 0\)

\( \Leftrightarrow 5\tan x\left( {\tan x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = 0\\\tan x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = \frac{\pi }{4} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \[S = \left\{ {k\pi ;\frac{\pi }{4} + k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}.\]

b) \(\cos 3x - \sin 2x - \cos x = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {\cos 3x - \cos x} \right) - \sin 2x = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow - 2\sin 2x\sin x - \sin 2x = 0\\ \Leftrightarrow - \sin 2x\left( {2\sin x + 1} \right) = 0\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin 2x = 0\\\sin x = - \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = k\pi \\x = \frac{{ - \pi }}{6} + k2\pi \\x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{k\pi }}{2}\\x = \frac{{ - \pi }}{6} + k2\pi \\x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là: \(S = \left\{ {\frac{{k\pi }}{2};\frac{{ - \pi }}{6} + k2\pi ;\frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}.\)