(1 điểm) Biết rằng tồn tại đúng ba giá trị \({m_1},\,{m_2},\,{m_3}\) của tham số \(m\) để phương trình \({x^3} - 9{x^2} + 23x + {m^3} - 4{m^2} + m - 9 = 0\) có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng. Tính giá trị của biểu thức \(P = m_1^3 + m_2^3 + m_3^3\).

Lời giải:

Phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt thì điều kiện cần là: \( - \frac{b}{{3a}} = - \frac{{ - 9}}{3} = 3\) là nghiệm của phương trình.

Suy ra \({3^3} - {9.3^2} + 23.3 + {m^3} - 4{m^2} + m - 9 = 0\)

\( \Leftrightarrow \) \({m^3} - 4{m^2} + m + 6 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 1\\m = 2\\m = 3\end{array} \right.\)

Với \(m = - 1,m = 2,m = 3\) thì \({m^3} - 4{m^2} + m + 6 = 0\) nên \({m^3} - 4{m^2} + m - 9 = - 15\).

Do vậy, với \(m = - 1,m = 2,m = 3\) ta có phương trình

\({x^3} - 9{x^2} + 23x - 15 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} - 6x + 5} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow x = 1,x = 3,x = 5\).

Ba số 1, 3, 5 lập thành cấp số cộng.

Vậy \(m = - 1,m = 2,m = 3\) là các giá trị cần tìm.

Do đó \({\left( { - 1} \right)^3} + {2^3} + {3^3} = 34\).