Một gia đình cần khoan một cái giếng để lấy nước. Họ thuê một đội khoan giếng nước đến để khoan giếng nước. Biết giá của mét khoan đầu tiên là 80 000 đồng, kể từ mét khoan thứ 2 giá của mỗi mét khoan tăng thêm 5 000 đồng so với giá của mét khoan trước đó. Biết cần phải khoan sâu xuống 50 m mới có nước. Vậy hỏi phải trả bao nhiêu tiền để khoan cái giếng đó?

Đáp án đúng là: B

Ta có \({u_n} = \frac{{ - 1}}{n}\), do đó \({u_1} = \frac{{ - 1}}{1} = - 1,{u_2} = \frac{{ - 1}}{2},{u_3} = \frac{{ - 1}}{3},{u_4} = \frac{{ - 1}}{4},{u_5} = \frac{{ - 1}}{5}\).

Vì \({u_n} = \frac{{ - 1}}{n} < 0\,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) nên dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn trên bởi số \(M = 0\).

\({u_n} = \frac{{ - 1}}{n} \ge \frac{{ - 1}}{1} = - 1\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) nên dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn dưới bởi số \(m = - 1\).

Lời giải:

a) \[\cos x\cos 5x = \cos 2x\cos 4x\]

\[ \Leftrightarrow \cos 6x + \cos 4x = \cos 6x + \cos 2x\]

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \cos 4x = \cos 2x\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{4x = 2x + k2\pi }\\{4x = - 2x + k2\pi }\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = k\pi }\\{x = k\frac{\pi }{3}}\end{array} \Leftrightarrow x = k\frac{\pi }{3}} \right.} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\]

b) \[\cos x + \frac{1}{{\cos x}} + \sin x + \frac{1}{{\sin x}} = \frac{{10}}{3}\]

Điều kiện \[\sin x \ne 0\] và \[\cos x \ne 0\] \[ \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].

Phương trình được biến đổi \[\sin x + \cos x + \frac{{\sin x + \cos x}}{{\sin x.\cos x}} = \frac{{10}}{3}\].

Đặt \[t = \sin x + \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\], \[\left| t \right| \le \sqrt 2 \]. Thì \[\sin x.\cos x = \frac{{{t^2} - 1}}{2}\].

Và phương trình trở thành: \[3{t^3} - 10{t^2} + 3t + 10 = 0 \Leftrightarrow \left( {t - 2} \right)\left( {3{t^2} - 4t - 5} \right) = 0\]

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2\\t = \frac{{2 + \sqrt {19} }}{3}\\t = \frac{{2 - \sqrt {19} }}{3}\end{array} \right.\).

Kết hợp điều kiện, chọn \[t = \frac{{2 - \sqrt {19} }}{3} \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{2 - \sqrt {19} }}{{3\sqrt 2 }} = \sin \alpha \]

\[ \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{4} = \alpha + k2\pi \] hoặc \[x + \frac{\pi }{4} = \pi - \alpha + k2\pi \]\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\[ \Leftrightarrow x = \alpha - \frac{\pi }{4} + k2\pi \] hoặc $x=\frac{3\pi }{4}-\alpha +k2\pi$ \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Vậy nghiệm của phương trình: \[x = \alpha - \frac{\pi }{4} + k2\pi \], \[x = \frac{{3\pi }}{4} - \alpha + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].