III. Hướng dẫn giải tự luận

(1 điểm) Giải các phương trình:

a) \[\cos x\cos 5x = \cos 2x\cos 4x\];

b) \[\cos x + \frac{1}{{\cos x}} + \sin x + \frac{1}{{\sin x}} = \frac{{10}}{3}\].

Lời giải:

a) \[\cos x\cos 5x = \cos 2x\cos 4x\]

\[ \Leftrightarrow \cos 6x + \cos 4x = \cos 6x + \cos 2x\]

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \cos 4x = \cos 2x\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{4x = 2x + k2\pi }\\{4x = - 2x + k2\pi }\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = k\pi }\\{x = k\frac{\pi }{3}}\end{array} \Leftrightarrow x = k\frac{\pi }{3}} \right.} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\]

b) \[\cos x + \frac{1}{{\cos x}} + \sin x + \frac{1}{{\sin x}} = \frac{{10}}{3}\]

Điều kiện \[\sin x \ne 0\] và \[\cos x \ne 0\] \[ \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].

Phương trình được biến đổi \[\sin x + \cos x + \frac{{\sin x + \cos x}}{{\sin x.\cos x}} = \frac{{10}}{3}\].

Đặt \[t = \sin x + \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\], \[\left| t \right| \le \sqrt 2 \]. Thì \[\sin x.\cos x = \frac{{{t^2} - 1}}{2}\].

Và phương trình trở thành: \[3{t^3} - 10{t^2} + 3t + 10 = 0 \Leftrightarrow \left( {t - 2} \right)\left( {3{t^2} - 4t - 5} \right) = 0\]

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2\\t = \frac{{2 + \sqrt {19} }}{3}\\t = \frac{{2 - \sqrt {19} }}{3}\end{array} \right.\).

Kết hợp điều kiện, chọn \[t = \frac{{2 - \sqrt {19} }}{3} \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{2 - \sqrt {19} }}{{3\sqrt 2 }} = \sin \alpha \]

\[ \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{4} = \alpha + k2\pi \] hoặc \[x + \frac{\pi }{4} = \pi - \alpha + k2\pi \]\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\[ \Leftrightarrow x = \alpha - \frac{\pi }{4} + k2\pi \] hoặc $x=\frac{3\pi }{4}-\alpha +k2\pi$ \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Vậy nghiệm của phương trình: \[x = \alpha - \frac{\pi }{4} + k2\pi \], \[x = \frac{{3\pi }}{4} - \alpha + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].