Cho tứ diện \(ABCD\) có \(M,N,P,Q\) lần lượt là trung điểm của \(AB\), \(BC\), \(CD\) và \(AD\). Trong các cặp đường thẳng dưới đây, cặp đường thẳng song song với nhau là

Hướng dẫn giải:

a) *Giao tuyến giữa mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\):

Gọi \(O\) là giao điểm hai đường chéo \(AC\) và \(BD\). Ta có:

\(\left. \begin{array}{l}S \in \left( {SAC} \right)\\S \in \left( {SBD} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow S\) là điểm chung giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\).

\(O \in AC\) mà \(AC\) nằm trên \(\left( {SAC} \right)\) nên \(O \in \left( {SAC} \right)\).

Tương tự \(O \in \left( {SBD} \right)\), do đó \(O\) cũng là điểm chung giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\).

Vậy \(SO\) là giao tuyến giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\).

*Giao tuyến giữa mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\):

Gọi \(I\) là giao điểm giữa \(AB\) và \(CD\). Ta có:

\(\left. \begin{array}{l}S \in \left( {SAB} \right)\\S \in \left( {SCD} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow S\) là điểm chung giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\).

\(I \in AB\) mà \(AB\) nằm trên \(\left( {SAB} \right)\) nên \(I \in \left( {SAB} \right)\).

Tương tự \(I \in \left( {SCD} \right)\), do đó \(I\) cũng là điểm chung giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\).

Vậy \(SI\) là giao tuyến giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\).

b) Xét mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\) có hai đường thẳng \(SO\) và \(BN\) cắt nhau tại \(P\). Khi đó ta có:

\(P \in SO\) mà \(SO\) nằm trên \(\left( {SAC} \right)\), nên \(P \in \left( {SAC} \right)\). Mà \(P \in BN\) nên \(P\) là giao điểm giữa \(BN\) và mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\).

Hướng dẫn giải:

a) \[\cos x.\left( {2\sin x - \sqrt 3 } \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\\2\sin x - \sqrt 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\\\sin x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\end{array} \right.\]

TH1: \(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}\).

TH2: \(\sin x = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \pi - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\).

Vậy tập nghiệm của phương trình là \[S = \left\{ {\frac{\pi }{3} + k2\pi ;\frac{{k\pi }}{2};\frac{{2\pi }}{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\].

b) \[5\sin x - \sin 2x = 0 \Leftrightarrow 5\sin x - 2\sin x.\cos x = 0 \Leftrightarrow 2\sin x\left( {\frac{5}{2} - \cos x} \right) = 0\]

Vì \( - 1 \le \cos x \le 1\) nên \(\frac{7}{2} \ge \frac{5}{2} - \cos x \ge \frac{3}{2} > 0\) nên:

\[2\sin x\left( {\frac{5}{2} - \cos x} \right) = 0 \Leftrightarrow \sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi ,k \in \mathbb{Z}\].

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

c) Đặt \(\sin x = t\), vì \( - 1 \le \sin x \le 1\) nên \( - 1 \le t \le 1\).

Phương trình đã cho tương đương với \(2{t^2} - 5t + 2 = 0\)

 \( \Leftrightarrow \left( {2t - 1} \right)\left( {t - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{1}{2}\\t = 2\,\,\left( {{\rm{ktm, }}1 \le t \le 1} \right)\end{array} \right.\)

\(t = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \pi - \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\).

Vậy tập nghiệm của phương trình là: \(S = \left\{ {\frac{\pi }{6} + k2\pi ;\frac{{5\pi }}{6} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).