Tìm ba số thực phân biệt \(x\), \(y\), \(z\) lập thành một cấp số nhân, biết rằng \(x\), \(2y\) và \(3z\) cũng lập thành một cấp số cộng và \(x + 1\), \(y + 2\) và \(z + 1\) cũng lập thành một cấp số nhân.

Hướng dẫn giải:

a) *Giao tuyến giữa mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\):

Gọi \(O\) là giao điểm hai đường chéo \(AC\) và \(BD\). Ta có:

\(\left. \begin{array}{l}S \in \left( {SAC} \right)\\S \in \left( {SBD} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow S\) là điểm chung giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\).

\(O \in AC\) mà \(AC\) nằm trên \(\left( {SAC} \right)\) nên \(O \in \left( {SAC} \right)\).

Tương tự \(O \in \left( {SBD} \right)\), do đó \(O\) cũng là điểm chung giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\).

Vậy \(SO\) là giao tuyến giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\).

*Giao tuyến giữa mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\):

Gọi \(I\) là giao điểm giữa \(AB\) và \(CD\). Ta có:

\(\left. \begin{array}{l}S \in \left( {SAB} \right)\\S \in \left( {SCD} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow S\) là điểm chung giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\).

\(I \in AB\) mà \(AB\) nằm trên \(\left( {SAB} \right)\) nên \(I \in \left( {SAB} \right)\).

Tương tự \(I \in \left( {SCD} \right)\), do đó \(I\) cũng là điểm chung giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\).

Vậy \(SI\) là giao tuyến giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\).

b) Xét mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\) có hai đường thẳng \(SO\) và \(BN\) cắt nhau tại \(P\). Khi đó ta có:

\(P \in SO\) mà \(SO\) nằm trên \(\left( {SAC} \right)\), nên \(P \in \left( {SAC} \right)\). Mà \(P \in BN\) nên \(P\) là giao điểm giữa \(BN\) và mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\).

Hướng dẫn giải:

a) \[\cos x.\left( {2\sin x - \sqrt 3 } \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\\2\sin x - \sqrt 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\\\sin x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\end{array} \right.\]

TH1: \(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}\).

TH2: \(\sin x = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \pi - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\).

Vậy tập nghiệm của phương trình là \[S = \left\{ {\frac{\pi }{3} + k2\pi ;\frac{{k\pi }}{2};\frac{{2\pi }}{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\].

b) \[5\sin x - \sin 2x = 0 \Leftrightarrow 5\sin x - 2\sin x.\cos x = 0 \Leftrightarrow 2\sin x\left( {\frac{5}{2} - \cos x} \right) = 0\]

Vì \( - 1 \le \cos x \le 1\) nên \(\frac{7}{2} \ge \frac{5}{2} - \cos x \ge \frac{3}{2} > 0\) nên:

\[2\sin x\left( {\frac{5}{2} - \cos x} \right) = 0 \Leftrightarrow \sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi ,k \in \mathbb{Z}\].

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

c) Đặt \(\sin x = t\), vì \( - 1 \le \sin x \le 1\) nên \( - 1 \le t \le 1\).

Phương trình đã cho tương đương với \(2{t^2} - 5t + 2 = 0\)

 \( \Leftrightarrow \left( {2t - 1} \right)\left( {t - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{1}{2}\\t = 2\,\,\left( {{\rm{ktm, }}1 \le t \le 1} \right)\end{array} \right.\)

\(t = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \pi - \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\).

Vậy tập nghiệm của phương trình là: \(S = \left\{ {\frac{\pi }{6} + k2\pi ;\frac{{5\pi }}{6} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).