Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thang đáy lớn là \(AB\). Gọi \(M\), \(N\)lần lượt là trung điểm của \(SA\) và \(SB\).

a) Chứng minh rằng: \(MN{\rm{//}}CD\).

b) Xác định giao tuyến của mặt phẳng \(\left( {AND} \right)\) với mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\).

c) Gọi \(P\) là giao điểm giữa \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {AND} \right)\). Kéo dài \(AN\) và \(DP\) cắt nhau tại \(I\). Chứng minh rằng \[SI{\rm{//}}AB{\rm{//}}CD\]. Tứ giác \(SIBA\) là hình gì?

a) Vì \(M,N\) là các trung điểm của \(SA\), \(SB\) nên \(MN\) là đường trung bình trong tam giác \(SAB\). Do đó \(MN{\rm{//}}AB\), mà \(AB{\rm{//}}CD\) nên \(MN{\rm{//}}CD\). (đpcm)

b)

Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\), \(J\) là giao điểm của \(SO\) và \(ND\). Ta có:

Vì \(J \in SO\) mà \(SO\) nằm trên \(\left( {SAC} \right)\) nên \(J \in \left( {SAC} \right)\).

Mà \(J \in ND\), \(ND\) nằm trên \(\left( {AND} \right)\) nên \(J \in \left( {AND} \right)\).

Từ đó suy ra được \(J\) là điểm chung giữa mặt phẳng \(\left( {AND} \right)\) và mặt phẳng\(\left( {SAC} \right)\).

Mặt khác \(A \in \left( {SAC} \right)\), \(A \in \left( {AND} \right)\), nên \(A\) là điểm chung giữa mặt phẳng \(\left( {AND} \right)\) và mặt phẳng\(\left( {SAC} \right)\).

\( \Rightarrow AJ\) là giao tuyến giữa mặt phẳng \(\left( {AND} \right)\) và mặt phẳng\(\left( {SAC} \right)\).

c) Kéo dài \(AJ\) cắt \(SC\) tại \(P\). Khi đó \(P\) là giao điểm giữa \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {AND} \right)\).

Ta có \(I \in AN\) mà \(AN\) nằm trên \(\left( {SAB} \right)\) nên \(I \in \left( {SAB} \right)\).

\(I \in DP\) mà \(DP\) nằm trên \(\left( {SCD} \right)\) nên \(I \in \left( {SCD} \right)\).

\( \Rightarrow I\) là điểm chung giữa 2 mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\).

\( \Rightarrow SI\) là giao tuyến giữa 2 mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\).

Xét 3 mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\), \(\left( {SCD} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) cắt nhau đôi một theo 3 giao tuyến \(SI,AB\) và \(DC\) nên theo định lí về ba đường giao tuyến, ta có \(SI{\rm{//}}AB{\rm{//}}CD\) hoặc \(SI,AB,CD\) đồng quy.

Mà \(AB{\rm{//}}CD\) nên \(SI{\rm{//}}AB{\rm{//}}CD\).

Lại có: \(SI{\rm{//}}AB\) nên theo định lí Talet, ta có:\(\frac{{SN}}{{NB}} = \frac{{IN}}{{NA}} = \frac{{SI}}{{AB}}\).

Do \(N\) là trung điểm \(SB\) nên \(SN = NB\) hay \(\frac{{SN}}{{NB}} = 1 \Rightarrow \frac{{SN}}{{NB}} = \frac{{IN}}{{NA}} = \frac{{SI}}{{AB}} = 1\)

\( \Rightarrow SI = AB\).

Tứ giác \(SIBA\) có \(\left\{ \begin{array}{l}SI{\rm{//}}AB\\SI = AB\end{array} \right. \Rightarrow \) tứ giác \(SIBA\) là hình bình hành.