Người ta bơm xăng vào bình xăng của một xe ô tô. Biết rằng thể tích \[V\] (tính theo lít) của lượng xăng trong bình xăng được tính theo thời gian bơm xăng \(t\) (phút) được cho bởi công thức:

\(V\left( t \right) = 300\left( {{t^2} - {t^3}} \right) + 4,5\) với \(0 \le t \le 0,5\).

Gọi \(V'\left( t \right)\) là tốc độ tăng thể tích tại thời điểm \(t\) với \(0 \le t \le 0,5\). Biết 1 lít xăng có giá là 21 000 đồng.

a) Phương trình \(V'\left( t \right) = 0\) có hai nghiệm phân biệt trên đoạn \(\left[ {0\,;\,\frac{1}{2}} \right]\).

b) Lượng xăng ban đầu trong bình ban đầu là \(1,5\) lít.

c) Khi xăng chảy vào bình xăng thì tốc độ tăng thể tích là lớn nhất vào thời điểm ở giây thứ 21.

d) Sau khi bơm 30 giây thì bình xăng đầy. Số tiền người mua phải trả là 787 500 đồng.

a) Sai. Ta có \(V'\left( t \right) = 300\left( {2t - 3{t^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0 \in \left[ {0\,;\,\frac{1}{2}} \right]\\t = \frac{2}{3} \notin \left[ {0\,;\,\frac{1}{2}} \right]\end{array} \right.\).

Vậy phương trình \(V'\left( t \right) = 0\) có một nghiệm trên đoạn \(\left[ {0\,;\,\frac{1}{2}} \right]\).

b) Sai. Với \(t = 0 \Rightarrow V\left( t \right) = 4,5\). Vậy lượng xăng ban đầu trong bình ban đầu là \(4,5\) lít.

c) Sai. Ta có \(V''\left( t \right) = 300\left( {2 - 6t} \right) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{3}\).

Ta có bảng biến thiên của hàm số \(V'\left( t \right)\):

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số \(V'\left( t \right)\) đạt giá trị lớn nhất tại \(t = \frac{1}{3}\)(phút)\( = 20\)(giây).

d) Đúng. Ta có \(t = 30\) (giây) \( = \frac{1}{2}\) (phút).

Thể tích xăng sau khi bơm thêm 30 giây vào bình là \(V\left( {\frac{1}{2}} \right) - 4,5 = 300\left( {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^3}} \right) = 37,5\).

Số tiền người mua phải trả là \(37,5 \cdot 21000 = 787\,500\) đồng.