PHẦN II. TỰ LUẬN (3,0 điểm)

(1,5 điểm)

a) Tính giá trị lượng giác \[\tan \left( {\alpha + \frac{\pi }{3}} \right)\] khi \[\sin \alpha = \frac{3}{5},\,\,\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \].

b) Giải phương trình \(\cos \left( {\frac{\pi }{3} + 3x} \right) + \cos \left( {\frac{{2\pi }}{3} - 4x} \right) + \cos x = 1.\)

c) Ngọn đèn trên hải đăng \(H\) cách bờ biển \(yy'\) một khoảng \(HO = 1\,{\rm{km}}\). Đèn xoay ngược chiều kim đồng hồ với tốc độ \(\frac{\pi }{{10}}\,{\rm{rad}}/{\rm{s}}\) và chiếu hai luồng ánh sáng về hai phía đối diện nhau. Khi đèn xoay, điểm \(M\) mà luồng ánh sáng của hải đăng rọi vào bờ biển chuyển động dọc theo bờ. Ban đầu luồng sáng trùng với đường thẳng \(HO\).

Viết hàm số biểu thị toạ độ \({y_M}\) của điểm \(M\) trên trục \(Oy\) theo thời gian \(t\) và xác định thời điểm \(t\) mà đèn hải đăng chiếu vào ngôi nhà \(N\) nằm trên bờ biển với toạ độ \({y_N} = - 1\,\left( {{\rm{km}}} \right)\).

a) Vì \[\frac{\pi }{2} < \alpha  < \pi \] nên \[\cos \alpha  < 0\].

Ta có: \[{\sin ^2}\alpha  + co{s^2}\alpha  = 1\].

Suy ra: \[cos\alpha  =  - \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha }  =  - \frac{4}{5} \Rightarrow \tan \alpha  =  - \frac{3}{4}\].

Vậy \[\tan \left( {\frac{\pi }{3} + \alpha } \right) = \frac{{\tan \frac{\pi }{3} + \tan \alpha }}{{1 - \tan \frac{\pi }{3}\tan \alpha }} = \frac{{48 - 25\sqrt 3 }}{{11}}\].

b) \(\cos \left( {\frac{\pi }{3} + 3x} \right) + \cos \left( {\frac{{2\pi }}{3} - 4x} \right) + \cos x = 1\)

\( \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{\pi }{3} + 3x} \right) + \cos \left( {\frac{{2\pi }}{3} - 4x} \right) = 1 - \cos x\)

\( \Leftrightarrow 2\cos \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{x}{2}} \right)\cos \left( {\frac{{7x}}{2} - \frac{\pi }{6}} \right) = 2{\sin ^2}\frac{x}{2} \Leftrightarrow 2\sin \frac{x}{2}\cos \left( {\frac{{7x}}{2} - \frac{\pi }{6}} \right) = 2{\sin ^2}\frac{x}{2}\)

\( \Leftrightarrow \sin \frac{x}{2}\left[ {\cos \left( {\frac{{7x}}{2} - \frac{\pi }{6}} \right) - \sin \frac{x}{2}} \right] = 0 \Leftrightarrow \sin \frac{x}{2}\left[ {\cos \left( {\frac{{7x}}{2} - \frac{\pi }{6}} \right) - \cos \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{x}{2}} \right)} \right] = 0.\)

● \(\sin \frac{x}{2} = 0 \Leftrightarrow \frac{x}{2} = k\pi  \Leftrightarrow x = k2\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

● \(\cos \left( {\frac{{7x}}{2} - \frac{\pi }{6}} \right) - \cos \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{x}{2}} \right) = 0 \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{{7x}}{2} - \frac{\pi }{6}} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{x}{2}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{{7x}}{2} - \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{2} - \frac{x}{2} + k2\pi \\\frac{{7x}}{2} - \frac{\pi }{6} =  - \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{x}{2}} \right) + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{2}\\x =  - \frac{\pi }{9} + k\frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.\) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = k2\pi \); \(x = \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{2}\); \(x =  - \frac{\pi }{9} + k\frac{{2\pi }}{3}\), \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

c) Dựa vào hệ trục ta có: \(\tan \alpha  = \frac{{OM}}{{OH}} \Rightarrow OM = OH.\tan \alpha \) Với \(\alpha  = \frac{\pi }{{10}}t\) \( \Rightarrow {y_M} = 1.\tan \left( {\frac{\pi }{{10}}t} \right) = \tan \left( {\frac{\pi }{{10}}t} \right)\) Khi \({y_N} =  - 1 \Rightarrow \tan \left( {\frac{\pi }{{10}}t} \right) =  - 1\) \( \Leftrightarrow \frac{\pi }{{10}}t = \frac{{3\pi }}{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\) \( \Leftrightarrow t = \frac{{15}}{2} + 10k,k \in \mathbb{Z}\) và \(k \ge 0\).