PHẦN II. TỰ LUẬN (3,0 điểm)

 (1,5 điểm)

a) Cho góc \(\alpha \) thỏa mãn \[\cos \alpha  =  - \frac{4}{5}\] và \[\pi  < \alpha  < \frac{{3\pi }}{2}.\] Tính \[P = \sin \frac{\alpha }{2}.\cos \frac{{3\alpha }}{2}.\]

b) Giải phương trình \[\cos 2\left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) + 4\cos \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) = \frac{5}{2}.\]

c) Phương trình của một sóng cơ học có dạng \(u\left( {x,t} \right) = A\cos \left[ {\omega \left( {t - \frac{x}{v}} \right)} \right]\) trong đó \(A\) là biên độ sóng, \(\omega \) là tần số góc của sóng và \(v\) là tốc độ truyền sóng. Biết hai sóng lan truyền theo cùng một chiều trên cùng một sợi dây kéo căng có cùng tần số, cùng biên độ \(10\left( {mm} \right)\) và hiệu số pha là \(\frac{\pi }{2}\). Hãy lập phương trình của sóng tổng hợp?

a) Ta có \[P = \sin \frac{\alpha }{2}.\cos \frac{{3\alpha }}{2} = \frac{1}{2}\left( {\sin 2\alpha  - \sin \alpha } \right) = \frac{1}{2}\sin \alpha \left( {2\cos \alpha  - 1} \right)\].

Từ hệ thức \[{\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\], suy ra \[\sin \alpha  =  \pm \sqrt {1 - {{\cos }^2}\alpha }  =  \pm \frac{3}{5}\].

Do \[\pi  < \alpha  < \frac{{3\pi }}{2}\] nên ta chọn \[\sin \alpha  =  - \frac{3}{5}\].

Thay \[\sin \alpha  =  - \frac{3}{5}\] và \[\cos \alpha  =  - \frac{4}{5}\] vào \(P\), ta được \(P = \frac{{39}}{{50}}.\)

b) \[\cos 2\left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) + 4\cos \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) = \frac{5}{2}\]

⦁ Ta có: \[\cos 2\left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = 1 - 2{\sin ^2}\left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = 1 - 2{\cos ^2}\left( {\frac{\pi }{6} - x} \right)\]

⦁ Phương trình đã cho trở thành:

\[ - \,2{\cos ^2}\left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) + 4\cos \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) - \frac{3}{2} = 0\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) = \frac{1}{2}\\\cos \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) = \frac{3}{2}\left( {loai} \right)\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) = \frac{1}{2}\]

\[ \Leftrightarrow \frac{\pi }{6} - x =  \pm \,\frac{\pi }{3} + k2\pi \]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \,\frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.,\,\,k \in \mathbb{Z}.\]

⦁ Vậy phương trình có hai họ nghiệm là \[x =  - \,\frac{\pi }{6} + k2\pi ;x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}.\]

c) Sóng thứ nhất có phương trình \({u_1}\left( {x,t} \right) = 10\cos \left[ {\omega \left( {t - \frac{x}{v}} \right)} \right] = 10\cos \left( {\omega t - \frac{\omega }{v}x} \right)\)

Sóng thứ hai có phương trình \({u_2}\left( {x,t} \right) = 10\cos \left[ {\omega \left( {t - \frac{x}{v}} \right) + \frac{\pi }{2}} \right] = 10\cos \left( {\omega t - \frac{\omega }{v}x + \frac{\pi }{2}} \right)\)

Sóng tổng hợp có phương trình \(u\left( {x,t} \right) = 10\cos \left( {\omega t - \frac{\omega }{v}x} \right) + 10\cos \left( {\omega t - \frac{\omega }{v}x + \frac{\pi }{2}} \right)\)

\( \Leftrightarrow u\left( {x,t} \right) = 10.2.\cos \left( {\omega t - \frac{\omega }{v}x + \frac{\pi }{4}} \right).\cos \frac{\pi }{4} \Leftrightarrow u\left( {x,t} \right) = 10\sqrt 2 \cos \left( {\omega t - \frac{\omega }{v}x + \frac{\pi }{4}} \right)\) (mm).